1. 6 Взаимное пересечение поверхностей

1.6.1 Поверхности могут взаимно пересекаться. При этом линии одной поверхности пересекаются с другой поверхностью и образуют точки, которые в совокупности представляют линию пересечения.

1.6.2 Вид линии пересечения зависит от сочетаний пересекающихся поверхностей. Если пересекаются два многогранника, то линия пересечения – пространственная ломаная с прямыми звеньями – рис. 1.31. Пересечение поверхности вращения с многогранником производит пространственную ломаную с кривыми звеньями. Пример – задача, приведенная на рис. 1.32.

Различают общий и частные случаи взаимного пресечения поверхностей. В общем случае поверхности не имеют особых условий в положении относительно плоскостей проекций и в отношении другой поверхности. При пересечении поверхностей вращения в общем случае получается пространственная кривая четвертого порядка, как показано на рис. 1.33,б. Частные случаи пересечения рассматриваются в подразделе 1.6.6.

1.6.3 Пересечение может быть полным и неполным (врезание). При врезании получается один контур линии пересечения, как на рис. 1.34,б; при полном пересечении образуется два замкнутых контура как на рис. 1.33, где приведен пример пересечения двух цилиндров.

1.6.4 Способы построения точек, принадлежащих линии пересечения:

• способ вспомогательных секущих плоскостей;

• способ сфер (в нашем курсе рассматриваем концентрические сферы).

Рис. 1.31- Взаимное пересечение двух многогранников

(заданы две призмы)

Рис. 1.32 – Взаимное пересечение поверхности вращения и

многогранника (заданы сфера и призма)

Рис. 1.33 – Взаимное пересечение двух цилиндров

1.6.5 Общий случай пересечения поверхностей вращения.

Алгоритм построения точек линии пересечения:

1 Выполнить анализ условия. Определить типы пересекающихся поверхностей, характер линии пересечения, количество контуров и способ построения точек линии пересечения.

2 Построить опорные точки линии пересечения. К ним относятся точки пересечения контурных (очерковых) образующих одной поверхности с другой поверхностью. Эти точки будут, как правило, экстремальными. Эти же точки определяют границы видимости линии пересечения. Опорные точки обозначать обязательно.

3 Построить дополнительные точки. Эти точки выбираются между характерными для уточнения кривизны линии пересечения. Дополнительные точки можно не обозначать.

4 Построить искомую линию. Полученные точки соединить плавной кривой с учетом видимости, считая пересекающиеся поверхности монолитными и непрозрачными.

Рассмотрим примеры построения линии пересечения двух поверхностей вращения.

Пример 1. Построение линии пересечения поверхностей вращения (общий случай) способом вспомогательных секущих плоскостей

Графическое условие приведено на рис.1.34,а. Решение (рис.1.34,б) выполняется в двух проекциях в соответствии с алгоритмом.

1. Анализ условия. Заданы конус вращения и сфера. Линия пересечения – пространственная кривая четвертого порядка. Пересечение типа «врезание», следовательно образуется один замкнутый контур.

2. Построение опорных точек:

• точки 1 и 2 (проекции 1₂, 1₁ и 2₂, 2₁) – пересечение фронтальной контурной образующей конуса со сферой;

• точки 3 и 4 (проекции 3₂, 3₁ и 4₂, 4₁) получены пересечением горизонтального очерка (экватора) сферы с поверхностью конуса; точки найдены способом вспомогательных секущих плоскостей; через экватор сферы проведена плоскость Г¹ (фронтальная проекция ), которая пересекает сферу по окружности h (проекции h₂, h₁), а конус – по окружности h¹ (проекции , ). Полученные окружности лежат в одной плоскости Г¹ и пересекаются в точках 3 и 4 (проекции 3₁, 3₂ и 4₁, 4₂).

3. Построение дополнительных точек. Количество таких точек должно быть достаточным для уточнения кривизны линии пересечения. Построение проекций искомых точек выполнено с помощью плоскостей – посредников Г² и Г³. Поиск дополнительных точек следует продолжить.

4. Построение искомой линии и видимости. Полученные точки соединены плавной кривой с учетом видимости, считая заданные поверхности непрозрачными. Контуры тел обводят при условии, что пересекающиеся поверхности составляют монолит.

Рис. 1.34,а – Условие задачи на взаимное пересечение двух поверхностей вращения (общий случай, заданы сфера и конус)

Рис. 1.34,б – Решение задачи на взаимное пересечение двух

поверхностей вращения (общий случай)

Пример 2. Построение линии пересечения поверхностей вращения (общий случай) способом концентрических сфер

Для понимания способа сфер необходимо знать соосные поверхности. Соосными называют поверхности вращения, имеющие общую ось.

На рис. 1.38,а,б показаны примеры соосного положения сферы с цилиндром и конусом. Соосные поверхности пересекаются по окружности. При этом окружность лежит в плоскости, перпендикулярной общей оси.

Для применения способа сфер необходимо наличие двух условий:

• пересекающиеся поверхности являются поверхностями вращения;

• оси заданных поверхностей пересекаются (составляют плоскость).

Если хотя бы одно из условий не выполняется, способ сфер применить нельзя.

Решение задачи способом концентрических сфер выполнено по алгоритму, описанному выше, и представлено на рис. 1.35 (фронтальная проекция) и 1.36. Далее приведены краткие пояснения к решению.

1. Анализ условия. Заданы пересекающиеся поверхности вращения: конус и самопересекающийся тор. Оси поверхностей пересекаются и составляют плоскость фронтального уровня.

Линия пересечения – пространственная кривая.

2. Построение опорных точек:

• точки 1 и 2 – пересечение фронтальных очерков заданных поверхностей;

• точки 3 и 4 – наиболее глубокие, определены способом секущих сфер.

Краткие пояснения:

• O₂ – точка пересечения осей заданных поверхностей, центр сфер;

• R_min – радиус наименьшей сферы (сферы, вписанной в большее тело).

Первая (наименьшая) сфера, вписанная в конус, как в большее тело, является соосной с конусом и тором. При этом она касается поверхности конуса по окружности, плоскость которой перпендикулярна общей оси конуса и сферы. Эта же сфера пересекается с тором по окружности, перпендикулярной общей оси тора и сферы. Полученные окружности в свою очередь пересекаются и образуют точки 3 и 4, принадлежащие искомой линии пересечения заданных поверхностей. На рис.1.35 фронтальные проекции этих точек обозначены: 3₂  4₂.

При построении горизонтальной проекции линию пересечения рассматривают как объект, принадлежащий поверхности конуса. Обратите внимание на плоскость Г, которая проведена через горизонтальные очерковые образующие конуса. Эта плоскость позволяет определить опорные точки 5 и 6 (рис.1.36) и установить границу видимости линии пересечения на горизонтальной проекции.

3 Построение дополнительных точек выполнено так же с применением сфер-посредников.

Определение радиуса максимальной сферы понятно по рис. 1.36.

4 Построение искомой линии и определение видимости. Полученные точки соединяются плавной кривой с учетом условий видимости. При этом заданные поверхности следует рассматривать как непрозрачное монолитное тело.

Решение задачи в двух проекциях показано на рис. 1.36.

Рис. 1.35 – Построение фронтальной проекции линии пересечения конуса и самопересекающегося тора способом концентрических сфер

Рис. 1.36 – Решение задачи на взаимное пересечение двух поверхностей вращения способом секущих концентрических сфер и вспомогательных секущих плоскостей

При построении проекций линии пересечения необходимо контролировать область нахождения точек. Точки должны находиться на «площади наложения» проекций пересекающихся поверхностей. На рис. 1.37 заштрихована площадь наложения наклонного цилиндра и эллипсоида.

Рис. 1.37 – Определение зоны нахождения проекций точек, принадлежащих линии пересечения поверхностей вращения - для контроля возможных ошибок при решении задачи