1.5 Пересечение поверхности плоскостью

1.5.1 Пересечем некоторую поверхность Q плоскостью T – рис. 1.22. Каждая образующая заданной поверхности будет пересекаться с плоскостью Q в некоторой точке. Множество точек образуют линию пересечения. Пересекая замкнутую поверхность, получим замкнутую линию пересечения или контур. Внутри контура заключена плоская фигура.

Сечение - плоская фигура, полученная при пересечении поверхности некоторой плоскостью.

1.5.2 Плоские сечения многогранников

При пересечении многогранника плоскостью получается многоугольник. Его вершины - точки пересечения ребер многогранника с заданной плоскостью. Стороны многоугольника – линии пересечения его граней с заданной плоскостью. На рис. 1.23 показано построение сечения пирамиды плоскостью .

Алгоритм построения сечения многогранника:

1. Определить точки пересечения ребер многогранника с заданной плоскостью

2. Полученные точки соединить прямыми линиями с учетом видимости относительно плоскостей проекций и заданной поверхности, считая ее непрозрачной.

Рис. 1.20 – Построение точек на поверхностях сферы (а, б) и тора (в, г, д, е)

Рис. 1.21 – Построение линии, лежащей на поверхности сферы

На рис. 1.22 показано сечение эллипсоида плоскостью Т.

Рис. 1.22 – Сечение эллипсоида фронтально-проецирующей плоскостью

Рис. 1.23 – Пересечение пирамиды фронтально-проецирующей плоскостью

1.5.3 Плоские сечения поверхностей вращения

Сечения конуса. Прямой круговой конус имеет шесть сечений.

Вид сечения зависит от положения секущей плоскости относительно оси конуса, вершины или образующих.

На рис. 1.24 показана схема сечений конуса. Получаются следующие контуры:

а – окружность, секущая плоскость перпендикулярна оси конуса (плоскость Г);

б – эллипс, секущая плоскость наклонна к оси конуса и пересекает все образующие конуса (плоскость R);

в – парабола, секущая плоскость параллельна одной образующей (плоскость Т);

г – гипербола, секущая плоскость параллельна двум образующим (плоскости Р и Q);

д – прямые (образующие) или точка, если секущая плоскость проходит через вершину конуса (плоскость ∑ ).

а) б) в) г) д)

Рис. 1.24 – Сечения конуса: а - окружность, б - эллипс, в - парабола, г - гипербола, д - прямые

Сечения цилиндра приведены на рис. 1.25 а, б:

а – прямые (образующие), если секущая плоскость параллельна оси поверхности;

б – эллипс (секущая плоскость ∑ наклонна к оси поверхности) и окружность (секущая плоскость Г перпендикулярна к оси цилиндра).

а) б)

Рис. 1.25 – Сечения цилиндра

Сечения сферы. При любом положении секущей плоскости сечение сферы - окружность как показано на рис. 1.26, а, б.

Алгоритм построения сечения поверхности вращения

Построение проекций сечения поверхности вращения следует выполнять в определенном порядке.

1. Провести анализ условия, при котором установить вид фигуры сечения;

2. Построить характерные точки. К характерным точкам относятся точки:

• лежащие на контурных (очерковых) образующих и определяющие границу видимости фигуры сечения относительно плоскостей проекций;

• экстремальные (самые высокие и самые низкие, ближайшие и наиболее удаленные).

Для эллипса необходимо определять особые точки - концы большой и малой осей, для гиперболы и параболы - вершину и точки на основании конуса.

Все характерные точки обозначить.

SHAPE \* MERGEFORMAT

1. Построить дополнительные точки. Эти точки необходимы для уточнения контура сечения. Их выбирают произвольно между характерными.

Дополнительные точки можно не обозначать.

1. Полученные характерные и дополнительные точки соединить плавной кривой с учетом видимости относительно плоскостей проекций и относительно заданной поверхности вращения, полагая ее непрозрачной.

Примеры построения сечений

Пример 1. Построение трех проекций сечения конуса заданной плоскостью

Графическое условие приведено на рис. 1.27.

Решение выполнить по алгоритму в соответствии с рис. 1.28.

1. Анализ условия

Задан конус - замкнутая поверхность вращения, имеющая вершину и основание. Секущая плоскость параллельна одной образующей, поэтому в сечении получается парабола.

Фронтальная проекция параболы - прямая линия, поскольку заданная секущая плоскость фронтально-проецирующая.

1. Построение характерных точек

Строим профильную проекцию конуса. Проводим при этом осевые и центровые штрихпунктирные линии. Далее необходимо выполнить построение характерных точек: 1, 2 и 3, 4 и 5.

Точка 1 – на очерковой фронтальной образующей, самая высокая. Проекции: 1_2, 1₁, 1₃; последовательность записи проекций точки соответствует порядку построения.

Точки 2 и 3 – на очерковых профильных образующих. Проекции точек с учетом последовательности построения: 2₂, 2₃, 2₁ и 3₂, 3₃, 3₁.

Точки 4 и 5 – на основании конуса, они же - самая низкая, ближайшая и наиболее удаленная. Проекции: 4₂, 4₁, 4₃ и 5₂, 5₁, 5₃.

1. Построение дополнительных точек

Дополнительные точки 6 и 7 выбираем для уточнения кривизны линии между характерными точками. Точки 6 и 7 рассматриваем на окружности, лежащей на поверхности конуса.

Рис. 1.27 – Условие задачи на построение сечения конуса

Рис. 1.28 – Решение задачи на построение сечения конуса; сечение – парабола

Построение:

• проводим фронтальную проекцию окружности через фронтальные проекции точек 6 и 7 (на чертеже эти точки 6₂ и 7₂);

• строим горизонтальную проекцию окружности и на ней горизонтальные проекции точек (6₁ и 7₁);

• строим профильную проекцию окружности и на ней профильные проекции точек (6₃ и 7₃).

Таким способом можно построить достаточное количество дополнительных точек.

1. Полученные точки соединить плавной линией с учетом видимости относительно плоскостей проекций и относительно конуса:

   • на горизонтальной проекции – линией сплошной основной по точкам 4₁, 6₁, 2₁, 1₁, 3₁, 7₁, 5₁;

   • линией штриховой – прямую между точками 4₁ и 5₁;

   • на профильной проекции – линией сплошной основной по точкам 2₃, 6₃, 4₃ и 3₃, 7₃, 5₃; линией штриховой по точкам 2₃, 1₃, 3₃;

   • проекции конуса обводим сплошной основной линией.

Пример 2 Построение трех проекций сечения сферы заданной плоскостью

Графическое условие приведено на рис. 1.29.

Решение выполняем по алгоритму в соответствии с рис. 1.30.

1. Анализ условия

Заданы сфера и наклонная секущая фронтально-проецирующая плоскость R , перпендикулярная фронтальной плоскости проекций. Сечение сферы – окружность.

Фронтальная проекция окружности – прямая линия, так как заданная секущая плоскость – фронтально-проецирующая.

Горизонтальная и профильная проекции – эллипсы.

1. Построение характерных точек

Построим профильную проекцию сферы. Проведем при этом центровые и осевые штрихпунктирные линии. Далее строим точки. Во всех случаях последовательность записи проекций точек соответствует ходу построения:

• точка 1 расположена на фронтальном очерке, самая низкая; проекции: 1₂, 1₁ и 1₃;

• точка 2 – на фронтальном очерке, самая высокая;

проекции: 2₂, 2₁ и 2₃;

(линия 1–2 – одна из осей эллипса)

• точки 3 и 4 – на горизонтальном очерке (экваторе) сферы; эти точки устанавливают границы видимости горизонтальной проекции сечения; проекции точек: 3₂, 3₁, 3₃ и 4₂, 4₁, 4₃;

• точки 5 и 6 – на профильном очерке; эти точки определяют границы видимости профильной проекции сечения; проекции точек: 5₂, 5₃, 5₁ и 6₂, 6₃, 6₁;

• точки 7 и 8 – определяют вторую ось эллипса.

Для определения фронтальных проекций точек 7 и 8 проводим перпендикуляр из центра сферы к линии 1₂ – 2_2..

Рис. 1.29 – Условие задачи на построение сечения сферы

Для построения двух других проекций точек 7 и 8 проводим фронтальную, затем горизонтальную и профильную проекции окружности, проходящей через эти точки. Проекции точек строим последовательно:

7₂, 7₁, 7₃ и 8₂, 8₁, 8₃.

Рис. 1.30 – Решение задачи на построение сечения сферы

1. Построение дополнительных точек

Выбираем дополнительные точки 9 и 10 между характерными. Построение проекций выполняется так же , как для точек 7 и 8.

Количество дополнительных точек можно увеличить, используя двойную симметрию эллипса относительно его осей.

1. Построение проекций линии пересечения. Характерные и дополни- тельные точки соединяем плавной кривой с учетом видимости относительно плоскостей проекций и относительно сферы.

Сфера при этом считается непрозрачной.

Результат построения – эллипсы на горизонтальной и профильной проекциях. При обводке эллипсов применяем сплошную основную линию для видимого контура и штриховую – для невидимого.

Тип и толщина линий должны соответствовать требованиям ГОСТ 2.303 – 68, шрифт – ГОСТ 2.304-81.

Линии и шрифты приведены в разделе 8 «Оформление чертежей».