1.4 Поверхность как объект пространства

1.4.1 В математике под поверхностью подразумевается непрерывное множество точек, если между координатами точек этого множества может быть установлена зависимость, определяемая уравнением вида:

F(x, y, z )=0

Понятие «поверхность» в начертательной геометрии связано с представлением о кинематическом способе ее образования:

Поверхность – непрерывное двухпараметрическое множество последовательных положений линии, перемещающейся в пространстве по определенному закону.

Подвижная линия называется образующей; неподвижная, задающая направление перемещения, – направляющей. На рис.1.10 изображена некоторая поверхность Q с образующей L (L¹, L², L³ и т.д. - последовательные положения образующей при перемещении) и направляющей m.

Если линиям L и m придать противоположные по смыслу значения, суть и форма поверхности не изменится.

1.4.2 Введем понятие определитель поверхности. Для задания поверхности на чертеже выбирают такую совокупность независимых геометрических условий, которая однозначно определяет данную поверхность в пространстве. Эта совокупность и называется определителем. Обозначим определитель буквой G. Формула определителя выглядит так:

G = (Г)(А) , где Г – геометрическая часть,

А – алгоритмическая часть

Геометрическая часть определяет форму образующей, направляющей.

Алгоритмическая – закон перемещения образующей.

Определитель часто задают словесно.

Одна и та же поверхность может быть образована различными способами, следовательно иметь несколько определителей. Для примера рассмотрим известную всем из курса средней школы цилиндрическую поверхность. На рис.1.11 показаны различные представления об образовании прямого кругового цилиндра.

В случае а) цилиндр образован вращением прямой образующей L вокруг неподвижной оси i; направляющая m – окружность, центр которой лежит на оси цилиндра.

Рис. 1.10 – Поверхность Q. L - образующая, m - направляющая

i

i

m

а)

б)

m

L

O

Рис. 1.11 – Варианты образования цилиндра: а) образующая L – прямая, вращается вокруг оси i по направляющей m ; б) образующая m – окружность,

центр окружности О перемещается по оси i.

Определитель:

G₁ = (L,i,m ) ( A₁ ),

где алгоритмическую часть определителя – А₁ можно выразить словесно: «Образующая L вращается вокруг неподвижной оси i» .

В случае б) образующая - окружность с центром на оси цилиндра.

Определитель :

G₂ = ( m, i ) ( A₂ ),

где алгоритмическую часть определителя А₂ следует понимать так: образующая окружность m перемещается вдоль оси i, при этом центр окружности находится на прямой направляющей - оси цилиндра.

1.4.3 Краткая классификация поверхностей

При классификации поверхностей основополагающим является способ образования и свойства поверхности. В нашем курсе рассмотрим краткую классификацию:

• по форме образующей – линейчатые (образующая – прямая линия) и нелинейчатые (образующая – кривая линия );

• по возможности развертывания – развертывающиеся и неразвертывающиеся.

К развертывающимся относятся поверхности, которые можно совместить с плоскостью без складок и разрывов. Примеры: все линейчатые (цилиндр, конус, многогранники, торсовые поверхности). Остальные поверхности - неразвертывающиеся. Для них можно выполнить только приближенную развертку. Примеры: все нелинейчатые ( семейство торов, в том числе сфера; параболоид, эллипсоид и другие).

Нелинейчатые поверхности могут быть с образующей постоянной или переменной формы (каналовые и каркасные поверхности).

В отдельные классы выделим поверхности вращения и многогранники как наиболее распространенные конструктивные составляющие технических форм.

Более подробно классификация поверхностей представлена в учебниках по начертательной геометрии.

1.4.4 Принадлежность точки и линии - поверхности

Точка принадлежит поверхности, если она принадлежит линии данной поверхности. Линия – совокупность точек. Прямая принадлежит поверхности, если две ее точки принадлежат данной поверхности. Если линия - кривая, то ее принадлежность данной поверхности определяется достаточным количеством принадлежащих точек.

1.4.5 Гранные поверхности

К гранным следует отнести призму, пирамиду, а так же другие многогранники, например – октаэдр.

Элементы гранной поверхности: ребро, грань, вершина. Эти элементы показаны на рис.1.12. На рис.1.13 изображены некоторые многогранники: а - пирамида, б - призма, в - октаэдр.

а) б)

Рис. 1.12 – Элементы гранной поверхности

1.4.6 Плоскость - частный случай поверхности, когда образующая и направляющая - прямые линии.

При изучении плоскости рассматривают способы задания плоскости на

чертеже, положение плоскости в пространстве относительно плоскостей проекций, точку и линию в плоскости.

Плоскость в пространстве может занимать общее или частное положение.

Плоскость общего положения расположена наклонно к плоскостям проекций. Плоскость частного положения может быть проецирующей либо плоскостью уровня.

Плоскость проецирующая перпендикулярна какой-либо одной плоскости проекций, а к другим наклонна – рис. 1.14.

а) б) в)

Рис. 1.13 – Примеры многогранников: а - пирамида; б - призма; в- октаэдр

а) б) в)

Рис. 1.14 – Плоскости частного положения: а- горизонтально-проецирующая;

б - фронтально-проецирующая; в - профильно-проецирующая

Названия изображенных на рис. 1.14 проецирующих плоскостей:

– плоскость R - горизонтально-проецирующая

– плоскость S - фронтально-проецирующая

– плоскость T - профильно-проецирующая

Главными проекциями таких плоскостей являются соответственно горизонтальная R₁, фронтальная S₂ и профильная проекция T₃, представляющие собой прямые линии.

На рис. 1.15 главной проекцией задана фронтально - проецирующая плоскость S. Аналогично задают и другие проецирующие плоскости. Фронтальные проекции всех элементов плоскости будут располагаться на главной проекции – рис. 1.15, точка А (проекция А₂) _.

Рис. 1.15 – Фронтально-проецирующая плоскость;

S₂ - главная проекция

Плоскость уровня параллельна какой-либо одной плоскости проекций. В название плоскости уровня входит « имя » соответствующей плоскости проекций. На рис. 1.16 приведены:

• плоскость фронтального уровня – Ф

• плоскость горизонтального уровня – Г

• плоскость профильного уровня – Р

а) б) в)

Рис. 1.16 – Плоскости частного положения: а - горизонтального уровня; б - фронтального уровня; в - профильного уровня

Главными проекциями плоскостей уровня являются линии:

Г₂ и Г₃; Ф₁ и Ф₃ ; Р₁ и Р₂

Проекции всех элементов, принадлежащих данным плоскостям, будут принадлежать соответствующим главным проекциям плоскостей.

На рис. 1.17,ж показан пример построения точки А, принадлежащей плоскости Г. Заданная плоскость Г является плоскостью горизонтального уровня, расположена параллельно П₁ и перпендикулярно фронтальной плоскости проекций П₂. Поэтому фронтальная проекция точки А (А₂) принадлежит фронтальной проекции плоскости Г (Г₂).

На рис.1.17,з показано построение двух проекций треугольника, принадлежащего плоскости Ф. Плоскость Ф - фронтального уровня, расположена параллельно П₂ и перпендикулярно горизонтальной плоскости проекций П_1. Поэтому горизонтальная проекция треугольника проецируется на горизонтальную проекцию плоскости - линию Ф₁.

Плоскость на чертеже задается различными способами - рис. 1.17:

• а - тремя точками, не лежащими на одной прямой;

• б - прямой и точкой, не лежащей на этой прямой;

• в - двумя параллельными прямыми;

• г - двумя пересекающимися прямыми;

• д - следами;

• е - плоской фигурой;

• ж и з - главной проекцией (для плоскостей частного положения).

Следом плоскости называется линия пересечения некоторой плоскости с плоскостью проекций.

а) б) в) г)

B₂

д) е) ж) з)

Рис. 1.17 – Способы задания плоскости на чертеже

1.4.7 Поверхности вращения

В конструкциях техники связи получили распространение поверхности вращения. Простейшие примеры: параболическая антенна, контактные узлы и другие.

Поверхности вращения образуются вращением прямой или кривой образующей вокруг неподвижной оси.

На рис. 1.18, а изображена поверхность вращения общего типа с кривой образующей, на рис. 1.18,б – верхний фрагмент самопересекающегося тора. На этих примерах рассмотрим основные понятия и элементы поверхности вращения.

Ось поверхности – прямая, вокруг которой происходит вращение образующей.

Параллель – окружность, лежащая в плоскости, перпендикулярной оси поверхности.

Горло - параллель с наименьшим диаметром, экватор – с наибольшим.

Меридиан - контур, полученный плоскостью, проходящей через ось поверхности.

Контур - линия, по которой проецирующие лучи касаются поверхности при ее проецировании на плоскость.

Очерк - проекция контура поверхности на плоскость.

Мы будем далее в тексте упоминать очерковые (контурные) образующие. На рис.1.18 проекции фронтальной очерковой образующей обозначены L₂, L_1, L₃.

Точка на поверхности вращения рассматривается лежащей на любой параллели (в том числе на основании) или образующей.

На рис. 1.18 а представлены точки А, В, С, D и Е, принадлежащие поверхности вращения общего типа.

На рис. 1.18 б точки S и A лежат на поверхности верхней половины самопересекающегося тора.

Рассмотрим более подробно конус, цилиндр, тор, как наиболее распространенные геометрические формы конструкций техники связи.

Конус прямой круговой. Конус образуется вращением прямой линии вокруг оси. При этом образующая имеет с осью одну общую точку, которая называется вершиной.

Определитель конуса можно записать:

G = ( L, m, S) ( A ),

где L – образующая; m – направляющая (окружность);

S – точка пересечения образующей с осью поверхности (вершина);

А – алгоритмическая часть определителя, задающая вращательный

характер движения образующей.

Ортогональные проекции конуса, способы построения проекций точек, лежащих на его поверхности, приведены на рис. 1.19 а,б.

Цилиндр прямой круговой. Цилиндр образуется вращением прямой образующей вокруг оси. При этом образующая параллельна оси поверхности. Определитель цилиндра вращения:

G = ( L, m ) ( A ),

где L – образующая;

m – направляющая (окружность);

A – алгоритмическая часть определителя, задающая вращательный характер движения образующей.

Ортогональные проекции цилиндра, способы построения точек, лежащих на его поверхности, приведены на рис. 1.19 в, г.

Тор. Тор – поверхность, образованная вращением окружности или ее части (дуги) вокруг неподвижной оси, лежащей в плоскости окружности.

Различают: тор открытый, замкнутый, самопересекающийся и сферу. Тип тора зависит от соотношения радиуса вращающейся окружности R и расстояния центра окружности О от оси поверхности. Обозначим это расстояние буквой f.

Если f > R – тор открытый (круговое кольцо),

f < R – тор самопересекающийся,

f = R – тор замкнутый.

При f = R ось проходит через центр окружности, образуется сфера.

Ортогональные проекции тора и сферы; способы построения проекций точек, лежащих на поверхностях, приведены на рисунках:

рис. 1.20,а, б – сфера;

рис. 1.20,в – открытый тор;

рис. 1.20,г,д – тор самопересекающийся;

рис. 1.20,е – тор замкнутый.

Построение линии на поверхности сферы приведено на рис. 1.21.

Линия – кривая, построена по точкам 1, 2, 3, 4, K и L.

а) б)

Рис. 1.18 – Поверхности вращения: а - элементы поверхности вращения общего типа;

б - проекции точки S и образующей L , принадлежащих поверхности вращения

а) б) в) г) д)

Рис. 1.19 – Построение проекций точек, принадлежащих различным поверхностям:

а, б - конус; в - цилиндр; г - отсек цилиндрической поверхности; д - пирамида