Лекция №1

Комплексные числа

Комплексным числом z наз. упорядоченная пара действительных чисел , над которыми определены алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение) по определенным правилам.

Опр.

- действительная часть, - мнимая часть.

Комплексные числа и наз. равными, если

, .

Опр. Суммой комплексных чисел и наз. комплексное число

. Пишут .

Св-ва

= - коммутативность

- ассоциативность.

Опр. нуля

.

Св-во: .

Опр. произведения комплексных чисел:

.

Будем рассматривать действительные числа как комплексные

.

При этом сохраняются все известные правила действий над действительными числами.

Опр. Комплексное число наз. чисто мнимым и обозначается символически . Комплексное число наз. мнимой единицей.

Сво-во: = , .

Поэтому комплексные числа можно записывать в алгебраической форме

.

Теперь операции сложения и умножения можно производить по обычным правилам алгебры многочленов.

Опр. Разностью наз. .

Опр. Число наз. комплексно сопряженным числу .

Опр. Частным комплексных чисел и наз. такое число , что

.

Отсюда находим

= + .

Тот же результат получим, используя алгебраическую форму записи комплексных чисел:

.

Комплексная плоскость

Ось абсцисс- действительная ось, ось ординат- мнимая ось.

Положительное направление угла - направление против часовой стрелки. Очевидно

.

Опр. - модуль комплексного числа, - аргумент комплексного числа.

Обозначение .

Очевидно

.

При выборе значения следует учитывать знаки и . не определен.

Величина наз. главным значением аргумента.

Принимают

или .

Опр. Показательной функцией называется величина

.

При таком определении - обычное св-во экспоненты. Положив здесь , получим

- формула Эйлера.

Геометрически комплексные числа складываются как векторы.

Неравенство треугольника

.

Из формулы Эйлера непосредственно имеем

- комплексное число в показательной форме.

Далее имеем

.

Т.о., при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Далее имеем

- формула Муавра.

Деление

.

Корнем -ой степени из наз. комплексное число , удовл. равенству

, т.е. w= .

Положим

.

Тогда по формуле Муавра

.

Отсюда

.

Далее

(арифм. корень) .

Поэтому

w= = .

Получим различных значений корня.

Функции комплексного переменного

. (1)

. (2)

. (3)

. (4)

Пределом последовательности { } наз. число :

.

Число наз. пределом ф. в точке , если

.

Ф. наз. непрерывной в т. , если

(5)

Показательная ф. определяется по формуле

. (6)

Из опр. вытекает

Выражение при не имеет смысла.

Логарифмическая ф. определяется формулой

. (7)

Имеем

(8)

Опр. Главным значением логарифма наз.

, . (9)

Т.о., каждое комплексное число z имеет бесконечное множество логарифмов (8).

Тригонометрические функции

, (10)

, (11)

, (12)

. (13)

Сохраняются все обычные тригонометрические формулы

(14)

, (15)

(16)

и т.д. Однако и неограничены в комплексной плоскости.

Найдем ф., обратную синусу. Имеем

, , или

.

Решая квадратное ур-е отн. , получим

. (17)

Обозначим найденное значение

. Тогда имеем многозначную функцию

. (18)

Ее главное значение

. (19)

Функция имеет две однозначные ветви. Знак можно не указывать, т.к. квадратный корень – двузначная функция.

Общая степенная ф. определяется соотношением

, (20)

где - может быть комплексным числом. При ф. всегда имеет бесконечно много значений.

Общая показательная ф.

. (21)

Ф. (21) – совокупность отдельных однозначных ф., отличающихся множителями

.

Гиперболические ф. определены формулами

, , , . (22)