2.6. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и с правой частью специального вида

Теорема. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного и частного решения данного неоднородного дифференциального уравнения.

Частное решение определяется методом неопределенных коэффициентов, который представлен в виде таблицы 2.

Таблица 2.

Правая часть дифференциального уравнения	Корни характеристического уравнения	Вид частного решения
	Число 0 не является корнем характеристического уравнения
	Число 0 – корень кратности r характеристического уравнения
	Число 0 не является корнем характеристического уравнения

Приложение таблицы 2.

	Число 0 – корень кратности r характеристического уравнения
	Число не является корнем характеристического уравнения
	Число – корень кратности r характеристического уравнения
	Число не является корнем характеристического уравнения

Приложение таблицы 2.

	Число – корень кратности r характеристического уравнения
	Число не является корнем характеристического уравнения
	Число – корень кратности r характеристического уравнения

Пример. Решить уравнение .

Решим соответствующее однородное уравнение:

Теперь найдем частное решение исходного неоднородного уравнения.

Сопоставим правую часть уравнения с видом правой части уравнения, рассмотренного выше: Частное решение ищем в виде: , где То есть Теперь определим неизвестные коэффициенты А и В.

Подставим частное решение в общем виде в исходное неоднородное дифференциальное уравнение.

Итого, частное решение:

Тогда общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения:

Пример. Решить уравнение

Правую часть дифференциального уравнения представим в виде суммы двух функций f₁(x) + f₂(x) = x + (-sin(2x)).

Составим и решим характеристическое уравнение: .

1. Для функции f₁(x) решение ищем в виде .

Получаем: . То есть . . Итого: .

2. Для функции f₂(x) решение ищем в виде: .

Анализируя функцию f₂(x), получаем:

.

Таким образом,

. Подставляем и упрощаем:

;

Итого: то есть искомое частное решение имеет вид: . Общее решение неоднородного дифференциального уравнения: .