- •1.3. Уравнения с разделяющимися переменными
- •1.4. Однородные уравнения
- •1.5. Уравнения, приводящиеся к однородным
- •Разделяем переменные:
- •1.6. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
- •Подставляем полученное равенство в исходное уравнение:
- •1.7. Уравнение Бернулли
- •1.8. Уравнения в полных дифференциалах
- •1.9. Уравнения первого порядка не разрешенные относительно производной
- •2. Уравнения Лагранжа и Клеро.
- •§2. Дифференциальные уравнения высших порядков
- •2.1 Основные понятия
- •2.2. Уравнения, допускающие понижение порядка
- •2) Уравнения, не содержащие явно искомой функции и ее производных до порядка k – 1 включительно.
- •3) Уравнения, не содержащие явно независимой переменной.
- •2.3. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
- •2.4. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Все корни характеристического уравнения различны:
- •2.5. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами
- •2.6. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и с правой частью специального вида
- •§3. Нормальные системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
1.3. Уравнения с разделяющимися переменными
Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно записать в виде:
.
Общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными получается после нахождения соответствующих интегралов, то есть .
Если уравнение с разделяющимися переменными имеет вид: , то путем почленного деления его на они сводится к уравнению .
Замечания.
При проведении почленного деления ДУ на могут быть потеряны некоторые решения. Поэтому следует отдельно решить уравнение и установить те решения ДУ, которые не могут быть получены из общего решения, - особые решения.
Уравнение также сводится к уравнению с разделенными переменными. Для этого достаточно положить и разделить переменные: .
Уравнение , где a,b,c – числа, сводится к уравнению с разделенными переменными путем замены . Дифференцируя по х получаем: . Интегрируя это уравнение и заменяя u= , получим общий интеграл исходного уравнения.
Пример. Найти все решения уравнения .
Разделяем переменные: . Интегрируем: .
Получаем: или .
В полученном выражении содержатся не все решения данного уравнения. При делении на потеряны решения - это особые решения, которые невозможно включить в решение. Множество интегральных кривых данного уравнения состоит из семейства окружностей радиусом 1 с центром в точке (С; 0) и прямых .
Рис. 2
1.4. Однородные уравнения
Однородной функцией f(x, y) нулевого измерения, или, просто, однородной функцией, называется функция только от отношения . Однородным дифференциальным уравнением называется уравнение вида: .
При решении однородных дифференциальных уравнений сохраняя прежнюю независимую переменную х, вводят вспомогательную неизвестную функцию t по формуле: . Откуда . Преобразуя уравнение , получаем: . Найдя отсюда выражение для t как функции от x возвращаются к переменной , получая при этом решение однородного дифференциального уравнения.
Замечание: Иногда целесообразно вместо постановки использовать подстановку .
Пример. Решить уравнение .
Делаем замену: .
Подставляем в исходное уравнение:
Разделяем переменные: .
Интегрируя: , получаем:
Переходя от вспомогательной функции обратно к функции у, получаем общее решение:
1.5. Уравнения, приводящиеся к однородным
Дифференциальное уравнение вида: приводится к однородному дифференциальному уравнению или к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными.
1 случай. Уравнение, приводящиеся к однородному дифференциальному уравнению.
Если определитель то совершается замена: где и - решения системы уравнений . Подставляя замену, получим однородное дифференциальное уравнение вида: .
Пример. Решить уравнение
Получаем
Находим значение определителя .
Решаем систему уравнений
Применяем подстановку в исходное уравнение:
Получили однородное уравнение и осуществляем замену переменных при подстановке в выражение имеем: .
Разделяем переменные:
; ; .
Вернемся к первоначальной функции у и переменной х.
;
;
; .
Получаем выражение , которое является общим интегралом исходного дифференциального уравнения.
2 случай. Уравнение, приводящиеся к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными.
Если определитель то совершается замена: , где . Отсюда, . Подставляя замену, получим дифференциальное уравнение вида: .
Пример. Решить уравнение
Получаем
Находим значение определителя .
Применяем подстановку , тогда .
Подставляем это выражение в исходное уравнение:
.
Разделяем переменные:
.
Далее возвращаемся к первоначальной функции у и переменной х.
– получили общий интеграл исходного дифференциального уравнения.