2) Уравнения, не содержащие явно искомой функции и ее производных до порядка k – 1 включительно.

Это уравнения вида:

В уравнениях такого типа возможно понижение порядка на k единиц. Для этого производят замену переменной: Тогда получаем:

Теперь допустим, что полученное дифференциальное уравнение проинтегрировано, тогда совокупность его решений выражается соотношением:

Делая обратную подстановку, имеем: .

Интегрируя полученное соотношение последовательно k раз, получаем окончательный ответ:

Пример. Найти общее решение уравнения .

Применяем подстановку: .

Получаем: .

Произведя обратную замену, получаем:

. Общее решение исходного дифференциального уравнения: . Отметим, что это соотношение является решением для всех значений переменной х кроме значения х =0.

3) Уравнения, не содержащие явно независимой переменной.

Это уравнения вида Порядок таких уравнений может быть понижен на единицу с помощью замены переменных ,

и т.д.

Подставляя эти значения в исходное дифференциальное уравнение, получаем: .

Пример. Найти общее решение уравнения

Замена переменной: .

Тогда .

1) .

Произведем замену переменной:

. С учетом того, что , получаем: .

Таким образом, общий интеграл имеет вид: .

2) .

2.3. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

Линейным дифференциальным уравнением порядка n называется любое уравнение первой степени относительно функции у и ее производных вида: , где p₀, p₁, …,p_n – функции от х или постоянные величины, причем p₀  0.

Левую часть уравнения обозначим L(y): .

Если f(x) = 0, то уравнение L(y) = 0 называется линейным однородным уравнением, если f(x)  0, то уравнение L(y) = f(x) называется линейным неоднородным уравнением, если все коэффициенты p₀, p₁, p₂, … p_n – постоянные числа, то уравнение L(y) = f(x) называется линейным дифференциальным уравнением высшего порядка с постоянными коэффициентами.

Фундаментальной системой решений линейного однородного дифференциального уравнения порядка n на интервале (a, b) называется всякая система n линейно независимых на этом интервале решений уравнения.

Определитель порядка n составленный из функций y_i и ее производных

,

то этот определитель называется определителем Вронского.

Система функций называется линейно зависимой, если существует такая линейная комбинация , при не равных нулю одновременно k_i. Если же только при k_i = 0 выполняется , то векторы называются линейно независимыми.

Теорема 1. Если функции линейно зависимы, то составленный для них определитель Вронского равен нулю.

Теорема 2. Если функции линейно независимы, то составленный для них определитель Вронского не равен нулю ни в одной точке рассматриваемого интервала.

Теорема 3. Для того, чтобы система решений линейного однородного дифференциального уравнения была фундаментальной необходимо и достаточно, чтобы составленный для них определитель Вронского был не равен нулю.

Теорема 4. Если - фундаментальная система решений на интервале (a,b), то общее решение линейного однородного дифференциального уравнения является линейной комбинацией этих решений: , где C_i –постоянные коэффициенты.