ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА .		3
§ 1.	Определение определённого интеграла……………………………..	5
§ 2.	Длина дуги кривой……………………………………………………	11
§ 3.	Площадь криволинейной трапеции………………………………….	14
§ 4.	Площадь поверхности вращения…………………………………….	17
Заключение………………………………………………………………….		19
Литература……………………………………………………………………		21

Введение. Мною была выбрана курсовая работа по теме «Определенный интеграл. Приложения определенного интеграла», в связи с этим, я решила узнать, откуда появился этот загадочный значок интеграл, почему так называется и такую большую роль играет в математике.

ИНТЕГРАЛ одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой - измерять площади, объемы, длины дуг, работу сил за определенный промежуток времени и т. п.

Символ введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова сумма). Само слово интеграл придумал Я. Бернулли (1690 г.). Вероятно, оно происходит от латинского integero, которое переводится, как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. Действительно, операция интегрирования “восстанавливает” функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция. Возможно происхождение слова интеграл иное: слово integer означает целый. В 1696г., появилось название новой ветви математики - интегральное исчисление (calculus integralis), которое ввел И. Бернулли.

В современной литературе множество всех первообразных для функции f(x) называется также неопределенным интегралом. Это понятие выделил Лейбниц, который заметил, что все первообразные функции отличаются на произвольную постоянную. А называют определенным интегралом (обозначение ввел К. Фурье (1768-1830), но пределы интегрирования указывал уже Эйлер).

Возникновение задач интегрального исчисления связано с нахождением площадей и объемов.

Однако при всей значимости результатов, полученных математиками XVII столетия, исчисления еще не было. Необходимо было выделить общие идеи, лежащие в основе решения многих частных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования, дающую достаточно точный алгоритм. Это сделали Ньютон и Лейбниц, открывшие независимо друг от друга факт, известный нам под названием формулы Ньютона - Лейбница. Тем самым окончательно оформился общий метод. Предстояло еще научиться находить первообразные многих функций, дать логические основы нового исчисления и т. п. Но главное уже было сделано: дифференциальное и интегральное исчисление создано.

Строгое изложение теории интеграла появилось только в прошлом веке, Решение этой задачи связано с именами О. Коши, одного из крупнейших математиков, немецкого ученого Б. Римана (1826 - 1866 гг.), французского математика Г. Дарбу (1842 - 1917).

§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА. Пусть в интеграле нижний предел а = const, а верхний предел b изменяется. Очевидно, что если изменяется верхний предел, то изменяется и значение интеграла. Обозначим = f(х). Найдем производную функции f(х) по переменному верхнему пределу х. Аналогичную теорему можно доказать для случая переменного нижнего предела.

ТЕОРЕМА 1: Для всякой функции f(x), непрерывной на отрезке [a, b], существует на этом отрезке первообразная, а значит, существует неопределенный интеграл.

Теорема 2: (Теорема Ньютона – Лейбница) Если функция F(x) – какая- либо первообразная от непрерывной функции f(x), то: это выражение известно под названием формулы Ньютона–Лейбница.

Доказательство: Пусть F(x) – первообразная функции f(x). Тогда в соответствии с приведенной выше теоремой, функция - первообразная функция от f(x). Но т.к. функция может иметь бесконечно много первообразных, которые будут отличаться друг от друга только на какое – то постоянное число С, то

при соответствующем выборе С это равенство справедливо для любого х, т.е. при х = а:

Тогда .

А при х = b:

Заменив переменную t на переменную х, получаем формулу Ньютона – Лейбница:

Теорема доказана. Иногда применяют обозначение F(b) – F(a) = F(x) .

Формула Ньютона – Лейбница представляет собой общий подход к нахождению определенных интегралов.

Определение. Если существует конечный передел интегральной суммы (1)

- (1)

при λ→0, не зависящий от способа разбиения τ_n отрезка [a; b] на частичные отрезки и выбора промежуточных точек ξ_k, то этот предел называют определенным интегралом (или интегралом Римана) от функции f(x) на отрезке [a; b] и обозначают:

Если указанный предел существует, то функция f(x) называется интегрируемой на отрезке [a; b] (или интегрируемой по Риману). При этом f(x)dx называется подынтегральным выражением, f(x) – подынтегральной функцией, х – переменной интегрирования, a и b – соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.

Определенный интеграл есть число, равное пределу, к которому стремится интегральная сумма, в случае, когда диаметр разбиения λ стремится к нулю.

Условия существования определенного интеграла

1) Интегрируемая функция необходимо ограничена.

Если бы функция f(x) была в промежутке [a, b] неограниченна, то – при любом разбиении промежутка на части – она сохранила бы подобное свойство хоть в одной из частей. Тогда за счет выбора в этой части точки можно было бы сделать f( ), а с ней и сумму , - сколь угодно большой; при этих условиях конечного предела для существовать не могло бы.

2) Для существования определенного интеграла необходимо и достаточно, чтобы было

(S - s) = 0 s = m ΔX , S = M ΔX ,

где m и M - точные нижняя и верхняя грани. Суммы Дарбу s и S служат точными, соответственно, нижней и верхней границами для интегральных сумм.[6]

Основные свойства определенного интеграла:

1. Если нижний и верхний пределы интегрирования равны (a=b), то интеграл равен нулю:

Это свойство следует из определения интеграла.

2. Если f(x)=1, то

Действительно, так как f(x)=1, то

2. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:

3. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

R.

2. Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа интегрируемых на [a; b] функций f₁(x), f₂(x), …, f_n(x) равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых:

6. (аддитивность определенного интеграла). Если существуют интегралы и то существует также интеграл и для любых чисел a, b, c;

7. Если f(x) ≥ 0 [a; b], то a < b.

8 . (определенность определенного интеграла). Если интегрируемые функции f(x) и φ(x) удовлетворяют неравенству f(x) ≥ φ(x) [a; b], то a >b.

9 . (об оценке определенного интеграла). Если m и М – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x), непрерывной на отрезке [a; b], то

a < b.

10. (теорема о среднем). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то существует такая точка [a; b], что

т. е. определенный интеграл от переменной функции равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой промежуточной точке ξ отрезка интегрирования [a; b] и длины b-a этого отрезка.[10]

Пример 1. .

Пример 2.

§ 2. Длина дуги кривой. Прямоугольные координаты

Пусть в прямоугольных координатах дана плоская кривая AB, уравнение которой y=f(x), где a ≤ x ≤ b. (рис1).

Под длиной дуги AB понимается предел, к которому стремиться длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего звена ее стремиться к нулю.

Применим схему I (метод сумм).

1. Точками X = a, X , … , X = b (X ≤ X ≤ … ≤ X ) разобьем отрезок [a, b] на n частей. Пусть этим точкам соответствуют точки M = A, M , … , M = B на кривой AB. Проведем хорды M M , M M , … , M M , длины которых обозначим соответственно через ΔL , ΔL , … , ΔL .

Рис 1

Получим ломанную M M M … M M , длина которой равна L = ΔL + ΔL + … + ΔL = ΔL .[6]

2. Длину хорды (или звена ломанной) ΔL можно найти по теореме Пифагора из треугольника с катетами ΔX и ΔY :

ΔL = , где ΔX = X - X , ΔY = f(X ) – f(X ).

По теореме Лагранжа о конечном приращении функции ΔY = (C ) ΔX , где C (X , X ).

Поэтому ΔL = = , а длина всей ломанной M M M … M M равна

L = ΔL = .

Длина кривой AB, по определению, равна L = L = ΔL . Заметим, что при ΔL 0 также и ΔX 0 (ΔL = и следовательно | ΔX | < ΔL ). Функция непрерывна на отрезке [a, b], так как, по условию, непрерывна функция f (X). Следовательно существует предел интегральной суммы

L = ΔL = , кода max ΔX 0:

L = = dx.

Таким образом, L = dx.

Пример: Найти длину окружности радиуса R. (рис 2)[5]

Решение: Найдем ¼ часть ее длины от точки (0;R) до точки (R;0). Так как y = , ¼L = dx = R arcsin = R .

Рис 2

Значит L = 2 R.

ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ. Пусть кривая AB задана уравнением в полярных координатах r = r( ), . Предположим, что r( ) и r ( ) непрерывны на отрезке [ ].

Если в равенствах x = r cos , y = r sin , связывающих полярные и декартовы координаты, параметром считать угол , то кривую AB можно задать параметрически

Тогда Поэтому

= =

П рименяя формулу L = , получаем L =

Пример: Найти длину кардиоиды Рис 3 r = a(1 + cos ).

Рис 4

Решение: Кардиоида r = a(1 + cos ) симметрична относительно полярной оси. Найдем половину длины кардиоиды: ½ L = = a = a = 2a cos d = 4a sin = 4a. [7]