6. Построение амплитудно-фазовой характеристики (афх) разомкнутой сар и определение устойчивости системы по амплитудно-фазовому критерию (Найквиста). Определение по афх запасов устойчивости сар

Амплитудно-фазовый критерий устойчивости формулируется: если все корни характеристического уравнения разомкнутой системы имеют отрицательные вещественные части или, если имеется один нулевой корень, а вещественные части остальных корней отрицательны, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы не охватывала бы точку на комплексной плоскости с координатами (-1;0).

S₁ = 0;

Так как корни характеристического уравнения удовлетворяют требованиям данного критерия устойчивости, то можно сделать вывод, что система устойчива.

В выражении передаточной функции разомкнутой системы заменим величину S на jω и выделим из полученного выражения вещественную и мнимую части.

Подставляя численные значения коэффициентов усиления и постоянных времени элементов и задаваясь различными значениями частоты от ω=0 до ω=∞, вычислим вещественную и мнимую части амплитудно-фазовой характеристики. Результаты вычислений приведены в табл.1

Таблица 1.

ω	u(ω)	v(ω)
0	∞	∞
0.001	-1.084	-2.58·103
0.005	-1.084	-515.968
0.01	-1.084	-257.981
0.05	-1.083	-51.579
0.1	-1.082	-25.763
0.2	-1.079	-12.829
0.3	-1.074	-8.494
0.4	-1.066	-6.31
0.5	-1.057	-4.987
1	-0.984	-2.257
5	-0.262	-2.27·10-3
10	-0.045	0.041
20	1.329·10-4	9.45·10-3
∞	0	0

По данным таблиц нанесём точки на плоскости. Соединив точки плавной кривой, получим амплитудно-фазовою характеристику разомкнутой системы.

0.9253·x2

Рис. 5

Согласно амплитудно-фазовому критерию замкнутая система автоматического регулирования устойчива.

Для определения запаса устойчивости необходимо на графике амплитудно-фазовой характеристики построить окружность единичного радиуса с центром в начале координат и соединить начало координат с точкой пересечения окружности с амплитудно-фазовой характеристикой. Угол между отрицательным лучом вещественной оси и лучом, проведённым из начала координат в точку пересечения окружности с амплитудно-фазовой характеристикой, определяет запас устойчивости по фазе (φ =42.777⁰).

Если отрезок оси вещественной оси между началом координат и точкой пересечения её с АФХ разомкнутой системы обозначить через R, то запасом устойчивости запасом устойчивости по амплитуде будем называть число m=1/R выраженное в децибелах.

m = 1/ 0.2588= 3.864

Запас устойчивости по амплитуде составляет

20lg(7.919) = 11.741 (дБ).

7. Исследование качества переходного процесса.

Этот метод базируется на связи переходного процесса с вещественной частотной характеристикой замкнутой системы.

Связь выражается интегралом

Где P(ω) – ВЧХ,

ω – угловая частота,

h(t) – переходный процесс.

Расчет логарифмической частотных характеристик замкнутой системы удобно вести, заполняя таблицу 2.

Таблица 2.

ω	Lp	φp	Lз	φз	lgRз=Lз/20	Rз	cos(φз)	P(ω)=Rз*cos(φз)	ω
0		-90	0	90	0	1	1	1	0
0,05	54.252	-91.2	0	0	0	1	1	1	0,05
0,1	48.232	-92.4	0	0	0	1	1	1	0,1
0,2	34.251	-94.8	0	-1.1	0	1	1	1	0,2
0,3	28.228	-97.2	0	-2.2	0	1	0.999	1.001	0,3
0,4	22.194	-99.6	0.1	-4.5	5·10-3	1.012	0.997	1.002	0,4
0,5	18.652	-102	0.1	-7.2	5·10-3	1.012	0.992	1.002	0,5
0,6	16.123	-104.3	0.1	-9.1	5·10-3	1.012	0.987	1.003	0,6
1	14.148	-113.6	-0.4	-11.4	-0.02	0.955	0.98	0.997	1
2	7.826	-134.6	-1.9	-22.3	-0.095	0.804	0.925	0.643	2
4	-11.618	-167.1	-6.8	-165.4	-0.34	0.457	-0.968	-0.582	4
5	-24.334	-179.5	-23.4	-180	-1.17	0.068	-1	-0.356	5
10	-40.491	-222.6	-40.491	-222.6	-2.025	9.4·10-3	-0.736	-0.045	10

График ВЧХ, построенный по данным таблицы изображен на рисунке 6.

Рис. 6

Расчет и построение переходной характеристики САР. Представим вещественную частотную характеристику в виде суммы трапецеидальных характеристик

Параметры трапецеидальных характеристик

1. Трапеция abcd: P₁=1.69

ω _d1=0

ω _k1=3.412

æ₁=0

2. Трапеция dgfq: P₂=0.69

ω _d2=3.412

ω _k2=10

χ₂=3.412/10=0.341

Данные трапеции представлены на рис 7.

P(w)

Рис.7

Расчет переходных процессов для трапеций представленных на рис.7 произведем в таблице 3.

Таблица 3.

Трапеция abcd				Трапеция dgfe
χ=0.29		wk1	p1	χ=0,341		wk2	p2
τ	h’1	3.412	1.69	τ	h’2	10	0.69
			x1=P1h’1				x2=P2h’2
1	2	3	4	1	2	3	4
0	0	0	0	0	0	0	0
0,5	0.207	0.147	0.35	0,5	0.215	0.05	0.148
1	0.401	0.293	0.678	1	0.417	0.1	0.288
1,5	0.594	0.44	1.004	1,5	0.603	0.15	0.416
2	0.681	0.586	1.151	2	0.761	0.2	0.525
3	0.958	0.879	1.619	3	1.103	0.3	0.761
4	1.06	1.172	1.791	4	1.07	0.4	0.738
5	1.087	1.465	1.837	5	1.033	0.5	0.713
6	1.065	1.758	1.8	6	1.012	0.6	0.698
7	1.037	2.052	1.753	7	1.006	0.7	0.694
8	1.021	2.345	1.725	8	1.006	0.8	0.694
9	1.018	2.638	1.72	9	1.002	0.9	0.691
10	1.019	2.931	1.722	10	0.994	1	0.686
11	1.014	3.224	1.714	11	0.986	1.1	0.68
12	1.004	3.517	1.697	12	0.983	1.2	0.678
13	0.994	3.81	1.68	13	0.987	1.3	0.681
14	0.988	4.103	1.67	14	0.992	1.4	0.684
15	0.988	4.396	1.67	15	0.997	1.5	0.688
16	0.991	4.689	1.675	16	1.001	1.6	0.691
17	0.994	4.982	1.68	17	1.001	1.7	0.691
18	0.995	5.275	1.682	18	1.001	1.8	0.691
19	2	5.569	1.682	19	1.003	1.9	0.692
1	2	3	4	1	2	3	4
20	0.995	5.862	1.682	20	1.005	2	0.693
21	0.995	6.155	1.685	21	1.007	2.1	0.695
22	0.997	6.448	1.693	22	1.007	2.2	0.695
23	1.002	6.741	1.697	23	1.004	2.3	0.693
24	1.004	7.034	1.698	24	1.002	2.4	0.691
25	1.005	7.327	1.698	25	1.001	2.5	0.691
26	1.005	7.62	1.697	26	1.001	2.6	0.691

По данным таблицы строим графики переходных процессов для трапеций и производим их графическое суммирование. В результате получим переходный процесс САР x(t) (рис. 8).

Вывод

В ходе выполнения данной расчётно-графической работы была составлена структурная схема системы автоматического регулирования отклонения рычага, её структурная схема с ПФ замкнутой САР, определена передаточная функция САР по входному воздействию, составлена структурная схема с ПФ разомкнутой САР, определена передаточная функция разомкнутой САР и исследована на устойчивость заданная система.

Как показало исследование, данная система оказалась устойчивой по всем предложенным критериям определения устойчивости, а именно:

- по логарифмическому критерию устойчивость системы видна из ЛЧХ ( также был определён запас устойчивости по фазе 42.758⁰ и по амплитуде 11.758 (дБ));

- по амплитудно-фазовому критерию (Найквиста) устойчивость системы видна из построения АФХ (определены запасы устойчивости по фазе ( =42.777⁰) и по амплитуде 11.741 (дБ));