4. Исследовать устойчивость системы с помощью критерия Михайлова.

Для устойчивости линейной системы автоматического регулирования n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы годограф вектора характеристического полинома системы при изменении частоты от 0 до ∞, начинаясь на положительной вещественной оси, последовательно и монотонно проходил против часовой стрелки n квадрантов комплексной плоскости, нигде не обращаясь в нуль.

Пусть характеристический полином системы имеет вид:

М(S)=a₀Sⁿ+a₁S^n-1+…+a_n-1S+a_n=0

Представим знаменатель передаточной функции замкнутой САР в виде характеристического полинома и сделаем замену S=jω. Тогда функция Михайлова примит вид:

М(jω)=0.06(jω)⁴+1.7(jω)³+10.6(jω)²+13.2(jω)+12.6=0

М(jω)=(a_n-a_n-2ω²+a_n-4ω⁴_…)+j(a_n-1ω-a_n-3ω³+a_n-5ω⁵…), следовательно:

М(jω)=(12.6-10.6ω²+006ω⁴)+ j(1.32ω-1.7ω³)=0

М(jω)=P(ω)+jQ(ω)

P(ω)= 12.6-10.6ω²+006ω⁴

Q(ω)= 1.32ω-1.7ω³

Как и всякую комплексную величину М(jω) можно представить в показательной форме, однако построение годографа при использовании мнимой и вещественной частей заметно проще, поэтому составим таблицу зависимости мнимой и вещественной частей от частоты и по ней построим годограф (рис.3.).

ω	0	0.1	0.5	1	1.5	2	3	5	12	14	16
P	12.6	12.5	10	2	-6.2	-29	-78	-214	-282	272	1218
Q	0	1.3	6.6	11.5	14	12.8	-6.3	-146	→-∞	→-∞	→-∞

рис.3.

Как видно из графика необходимое и достаточное условия выполняются, следовательно линейная система автоматического регулирования устойчива.

4. Исследование качества переходного процесса методом трапеций (Солодовникова).

Сущность метода заключается в том, что переходной процесс, протекающий в системе автоматического регулирования, можетбыть построен непосредственно, путем решения дифферренциального уравнения движения замкнутой системы. Решение д.у. высокого порядка достаточно сложнгое занятие. Поэтому существуют приближенные методы, среди которых наиболее целесообразен метод трапециидальных характеристик.

Этот метод базируеться на связи переходного процесса с вещественной частотной характеристикой замкнутой системы:

Вещественная частотная характеристика (ВЧХ) может быть расчитана либо по выражению частотной функции, либо по ЛЧХ замкнутой системы и представляться графиком P(). Метод трапециидальных характеристик состоит в замене точной (расчетной) ВЧХ близкой к ней ломаной линией и в представлении площади, ограниченой ВЧХ, суммой площадей конечного ряда элементарных прямоугольных трапецмй.