- •Випадкові події. Імовірність
- •Випадкові події
- •Умовні ймовірності
- •Випадкові величини і їх статистичні характеристики
- •Означення випадкової величини. Класифікація
- •2.2. Розподіл імовірностей дискретної випадкової величини
- •2.3. Функція розподілу імовірностей випадкової величини
- •2.4. Щільність розподілу імовірностей
- •2.5. Векторні випадкові величини
- •2.6. Числові характеристики випадкових величин
2.4. Щільність розподілу імовірностей
Якщо функція абсолютно неперервна, тобто диференційована при всіх , то її похідна
називається щільністю розподілу імовірностей неперервної випадкової величини.
Розглянемо основні властивості щільності розподілу імовірностей.
Функція невід’ємна, тобто при всіх . Це є наслідком того, що функція - неспадна.
Функція задовольняє умові норміровки
.
Якщо задано щільність розподілу імовірностей , то шляхом інтегрування можна знайти функцію розподілу:
.
Для будь-яких
.
Інколи, особливо в літературі технічного спрямування, називають інтегральною функцією розподілу імовірностей, а - диференціальною функцією розподілу імовірностей випадкової величини.
Значення функції не є імовірностями подій (це щільність) і тому можуть бути більшими 1. Вони мають фізичну розмірність, обернену розмірності, яка відноситься до значень самої випадкової величини. Наприклад, якщо розмірність випадкової величини [Вольти], то розмірність - .
На рис. 2.5 наведено приклад щільності розподілу імовірностей деякої випадкової
Рис. 2.5. Щільність розподілу імовірностей
величини. Згідно з властивістю норміровки, площа між кривою і віссю абсцис дорівнює 1. Імовірність того, що випадкова величина набуде значення, яке розташоване в межах інтервалу , дорівнює площі, заштрихованій на рисункові.
Значення випадкової величини , при якому набуває максимального значення, називається модою. На рис. 2.5 . Криві щільності можуть бути унімодальними, як на рис. 2.5, або полі модальними, які мають декілька максимумів (не обов’язково одинакових).
2.5. Векторні випадкові величини
Розглянутий раніше теоретико-імовірнісний опис випадкових величин можна узагальнити на довільну сукупність випадкових величин: . Цю сукупність можна розглядати як випадковий вектор або випадкову точку у -вимірному евклідовому просторі з випадковими декартовими координатами .
Приклад 2.4. Нехай маємо деяку інформаційну систему (ІС) з виходами (рис. 2.6). Розглянемо значення напруги у фіксований момент часу на кожному із виходів.
Рис. 2.6. Приклад векторної випадкової величини
Тоді можливі значення напруги у момент часу на першому виході будуть зображати собою значення випадкової величини . На другому виході – значення випадкової величини . І так далі. В цілому, можливі значення напруги на всіх виходах і будуть зображати собою значення векторної випадкової величини .
Аналогічно, як і для одновимірної випадкової величини, вводиться багатовимірна функція сумісного розподілу імовірностей векторної випадкової величини.
,
тобто, за означенням, функція дорівнює імовірності події, яка полягає в тому, що випадкова величина не перевищує значення і випадкова величина не перевищує значення і т.д. до випадкової величини включно, тобто йде мова про перетин подій .
Сумісна функція розподілу неперервна зліва і неспадна по кожній змінній .
Окрім того багатовимірна сумісна функція розподілу має такі властивості:
1. , де може дорівнювати будь-якому значенню із сукупності індексів .
2. .
3. Багатовимірна сумісна функція розподілу є симетричною функцією відносно своїх аргументів , тобто
,
де - будь-яка перестановка індексів .
Функція розподілу задовольняє умові узгодженості, тобто
, (2.3)
де . Отже із розподілу більшої розмірності завжди можна отримати так званий маргінальний розподіл меншої розмірності за формулою (2.3). Обернене твердження у загальному випадку не вірне. Воно буде вірним лише для незалежних у сукупності випадкових величин . У цьому випадку
.
Змішана похідна -го порядку (якщо вона існує) функції розподілу від змінних
називається -вимірною сумісною щільністю розподілу імовірностей векторної випадкової величини .
Основні властивості -вимірною сумісною щільністю розподілу імовірностей наступні.
Вона є невід’ємною функцією
.
Багатовимірна сумісна щільність розподілу імовірностей, як і одновимірна, задовольняє умові нормування. Тобто
.
Якщо відома багатовимірна сумісна щільність розподілу імовірностей , то відповідна сумісна функція розподілу векторної випадкової величини знаходиться за формулою
.
На основі сумісної щільності розподілу імовірностей більшої розмірності завжди можна знайти сумісну щільність розподілу меншої розмірності, тобто
.
Для незалежних у сукупності випадкових величин
.
Імовірність того, що випадковий вектор в результаті експерименту набуде значення (у вигляді -вимірного вектора), яке міститься у -вимірному кубі: , знаходиться за формулою:
.
Для ілюстрації розглянемо рис. 2.7 з двовимірною щільністю розподілу
імовірностей . Імовірність попадання двовимірного випадкового вектора
Рис. 2.7. Двовимірна сумісна щільність розподілу імовірностей
випадкового вектора
в заштрихований на рисунку прямокутник дорівнює чисельно об’ємові шестигранної фігури і може бути обчислена за формулою
.