2. Випадкові величини і їх статистичні характеристики

До цього часу ми розглядали з вами випадкові події, пов’язані з тим чи іншим експериментом. Можна сказати, що випадкові події характеризують „якісний” бік експерименту. Цей же розділ присвячений „кількісному” опису експерименту, яке здійснюється на основі поняття випадкової величини.

0. Означення випадкової величини. Класифікація

Нехай деякий експеримент характеризується імовірнісним простором F, . Співставимо з цим експериментом випадкову величину (стохастичну змінну)

Означення 2.1. Дійсною випадковою величиною називається функція з областю визначення і областю значень , така, що для будь-якого множина тих , для яких , є подією F.

Таким чином, випадкова величина – це правило (функція), згідно з яким кожній елементарній події (а значить і кожній випадковій події F ) ставиться у відповідність число. А так як процесом появи тієї чи іншої події в конкретному випробуванні „керує випадковість”, то випадковим чином набуває конкретних значень (реалізацій) і випадкова величина .

Серед можливих значень випадкової величини , які відповідають різним елементарним подіям , не обов’язково усі різні. Позначимо різні можливі значення випадкової величини через . Введемо позначення

.

Воно означає, що подія „випадкова величина набула значення ” рівносильна події „результатами експериментів є сукупність елементарних подій таких, що вони самі є елементами множини і відповідні їм значення випадкової величини дорівнюють ”.

Позначимо через імовірність цієї події

(запис під знаком суми означає, що підсумовування виконується по тих , для яких , при цьому порядок підсумовування не грає ніякої ролі, оскільки всі доданки невід’ємні).

Якщо випадкова величина може набувати скінчену або злічену кількість різних значень, тобто

або

,

то випадкова величина називається дискретною.

Приклад 2.1. Розглянемо приклад дискретної випадкової величини. Нехай експеримент полягає в тобі, що підкидається монета до першого випадання герба. Для такого експерименту простір елементарних подій складається з нескінченної (але зліченої) кількості послідовностей такого виду: , , , і т.д., де літерою Г умовно позначено випадання герба, а літерою Р ─ випадання решітки. На просторі елементарних подій визначимо випадкову величину наступним чином. Випадкова величина дорівнює кількості підкидань монети до першого випадання герба, тобто , , , і т.д. Отже така дискретна випадкова величина набуває зліченої кількості значень, тобто .

Якщо ж випадкова величина набуває континуальну множину значень, тобто

то ми маємо справу з неперервною випадковою величиною.

Приклад 2.2. Будемо вважати, що для міста Києва температура в червні місяці може коливатися в межах від до . Тоді значення температури повітря в деякій фіксованій точці м. Києва, наприклад о 12 год. дня там буде представляти неперервну випадкову величину, для якої область значень .