- •Випадкові події. Імовірність
- •Випадкові події
- •Умовні ймовірності
- •Випадкові величини і їх статистичні характеристики
- •Означення випадкової величини. Класифікація
- •2.2. Розподіл імовірностей дискретної випадкової величини
- •2.3. Функція розподілу імовірностей випадкової величини
- •2.4. Щільність розподілу імовірностей
- •2.5. Векторні випадкові величини
- •2.6. Числові характеристики випадкових величин
Умовні ймовірності
Почнемо розгляд цього питання з прикладу, використовуючи лапласівське означення імовірностей, тобто будемо виходити із моделі з рівно ймовірними (рівно можливими) елементарними наслідками ( див. у п. 1.2. класичне означення імовірності).
Приклад 1.6. Розглянемо однократне підкидання грального кубика. Тут , де - кількість очок на верхній грані , Розглянемо події: - випало два очка; - випала парна кількість очок. Імовірність цих подій, згідно з класичним означенням імовірності, . Нехай в результаті однократного підкидання кубика виникла подія . Тоді можна розглянути подію - випадання двох очок за умови, що випала парна кількість очок. Очевидно імовірність цієї події .∙
Таким чином ми приходимо до поняття умовної події і умовної імовірності .
Зупинимось на більш строгих означеннях співвідношень для умовних імовірностей. Якщо розглядається імовірність події за умови, що виникла подія , то така імовірність називається умовною і позначається символом . При означенні умовної імовірності первинний (визначений для експерименту, здійснення якого привело до появи події ) простір елементарних подій після виникнення події переходить (звужується) до простору елементарних подій і складається з тих елементарних подій де - кількість елементарних подій, із яких складається подія , при появі яких виникає подія .
Якщо звернутись до прикладу 1.6, з якого ми починали даний підрозділ, то .
Означення 1.1. Умовною імовірністю події за умови події з називається величина
.
Ми приходимо до нового (звуженого) імовірнісного простору:
F , ,
де присутні всі три елементи імовірнісного простору:
- простір елементарних подій;
F - система (алгебра) подій;
- імовірність (умовна).
Із означення умовної імовірності випливає формула :
, (1.3)
яка носить назву формули множення імовірностей.
Аналогічно можна ввести умовну імовірність
і тоді формула множення імовірностей набуде виду
. (1.4)
Обидві формули рівнозначні.
Властивості умовних імовірностей:
1.
2. якщо
3.
4.
Зокрема, із властивостей 2 і 4 випливає
5.
Означення 1.2. Подія незалежна від події , якщо має місце рівність
Якщо подія незалежна від події , то і подія є незалежною від події , тобто
Для незалежних подій формули множення імовірностей (1.3) і (1.4) набувають такого виду:
. (1.5)
Приклад 1.7. Незалежними є похибки в двох вимірюваннях, виконаних різними спостерігачами різними приладами.∙
Означення 1.3. Події називаються незалежними у сукупності, якщо для будь-якої події із їх числа і довільних із їх числа події і взаємно незалежні.
Це означення еквівалентно наступному
для усіх .
Із означення 1.3 випливає узагальнення формули множення імовірностей (1.5) для незалежних у сукупності подій :
.
Можна також отримати узагальнення формул множення імовірностей (1.3) і (1.4) на випадок залежних подій
.
В багатьох реальних ситуаціях та чи інша подія може з’явитися лише як випадковий наслідок однієї із несумісних подій , які складають повну групу подій і називаються гіпотезами. Зауважимо, що термін „випадковий наслідок” означає, що кожна із гіпотез може призвести до появи не тільки події , але і деяких інших подій (див. рис. 1.3).
Рис. 1.3. Умовне графічне зображення схеми гіпотез
Приклад 1.8. Маємо три урни, в кожній з яких містяться червоні, чорні та білі кульки. Вибирається навмання одна із урн і виймається із неї одна кулька. В цьому експерименті маємо три гіпотези ( ): - вибір першої урни; - вибір другої урни; - вибір третьої урни. При виборі однієї із урн (гіпотез) і вийманні потім однієї кульки можуть виникнути такі несумісні події: - колір кульки червоний; - колір кульки чорний; - колір кульки білий.
В схемі гіпотез робиться припущення, що відомі імовірності гіпотез і відомі умовні імовірності події для кожної з гіпотез: . Ставиться задача: визначити безумовну імовірність події , при обчисленні якої приймаються до уваги всі випадки (гіпотези), наслідком яких може бути подія . Аналогічним чином може ставитись задача і відносно подій і т.д.
Приклад 1.9. Якщо звернутися до прикладу 1.8 і вважати що шанси вибору кожної із урн рівноцінні, то імовірності гіпотез . Умовні ж імовірності подій і залежать від кількості кульок у кожній із урн і їх розподілу за кольорам. Наприклад, якщо в першій урні всього кульок 10 і з них 5 – червоних, 1 – чорна і 4 – білих, то .
Відзначимо, що подія тоді і лише тоді, коли виникає одна із подій , причому, ці події несумісні, так же само як і гіпотези . Тому, згідно з правилом складання імовірностей несумісних подій (див. аксіому 3)
. (1.6)
Застосовуючи теорему множення імовірностей (1.3), отримаємо
. (1.7)
Підставляючи тепер (1.7) в (1.6), знаходимо безумовну ймовірність події
.
Остання формула в літературі отримала назву формули повної імовірності.
В цій же схемі гіпотез можна ставити і розв’язувати і таку задачу. Нехай здійснено випробування і виникла подія . Ставиться запитання: з якою із гіпотез слід пов’язати появу події У зв’язку з тим, що викладена ситуація є імовірнісною, то і відповідь на поставлене запитання може бути лише імовірнісною а не детерміністичною. Для вирішення поставленої задачі потрібно обчислити умовну імовірність кожної із гіпотез за умови настання події : . Віддається перевага тій із гіпотез, для якої буде найбільшою знайдена умовна імовірність. Як же знайти
На основі формул множення імовірностей (1.3) і (1.4) для імовірності сумісної появи події і гіпотези маємо
. (1.8)
Беручи до уваги праву рівність в (1.8), запишемо
.
Але за формулою повної імовірності
.
Отже
Останнє співвідношення отримало в літературі назву формули оберненої імовірності або формули Байєса.