2.4. Задание

1. Метод LU-разложения применить к заданной матрицам 4-го порядка, получить нижнюю (L) и верхнюю (U) матрицы. Проверить правильность выполнения метода для полученных матриц.

Решить заданную систему уравнений методом LU-разложения, для этого ввести столбец свободных членов.

2. Применить метод разложения Холесского к заданной матрице 4-го порядка и проверить верность разложения с помощью стандартной функции MathCAD.

4. Все результаты численных экспериментов занести в отчет в виде таблиц.

2.5. Порядок выполнения работы на компьютере

Войти в MathCAD, для этого нужно набрать:

Имя пользователя: Vmstudent

Пароль: student

Вход в: VM

После входа в систему запустить MathCAD 2000 Professional.

Порядок выполнения работы

2.5.1. LU-разложение

Задаем число элементов матрицы

.

Устанавливаем счетчики столбцов и строк

.

Вводим матрицу порядка (n,n) согласно номеру варианта

.

Согласно теоретическому описанию вводим последовательность формул LU-разложения:

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Важно помнить: 1) В пакете MathCad нумерация элементов начинается с 0, т.е. в матрице размером 5 первый элемент будет иметь нулевой номер, а последний элемент будет иметь номер 4.

2) Необходимо соблюдать последовательность вычисления элементов матриц L и U.

В результате вычислений получили матрицы L и U следующего вида

, .

Проверяем верность разложения, перемножив полученные матрицы:

.

Вводим столбец свободных членов:

.

Согласно методическому указанию, решаем последовательно две системы уравнений:

.

.

В результате, в столбце x получено решение системы.

2.5.2. Разложение Холесского

Вводим матрицу, согласно номеру варианта:

.

Вводим последовательность формул, соответствующих методу разложения Холесского

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Проверяем верность разложения, используя стандартную функцию пакета MathCad.

.

Самостоятельно ввести столбец свободных членов и решить систему уравнений данного типа аналогично предыдущему пункту порядка выполнения.

2.6. Содержание отчета

1. Исходные матрицы, основные формулы для вычисления элементов разложения, порядок элементов разложения, результат LU разложения, столбец свободных членов, последовательное решение двух получившихся систем уравнений и результат решения.

2. Матрица ch которая раскладывалась, основные формулы используемые при этом, порядок вычисления элементов разложения и результат разложения.

Контрольные вопросы

1. Привести достаточное условие для разложения матрицы А в виде: .

2. Вывести формулы для вычисления элементов матрицы L и U.

3. Описать алгоритм LU-разложения, включая порядок вычисления элементов матриц.

4. Выполнить LU-разложения матриц третьего и четвертого порядков по указанию преподавателя.

5. Дать определение симметричной матрицы.

6. Дать определение полностью определенной матрицы.

7. Сформулировать критерий Сильвестра.

8. Сформулировать теорему о разложении Холесского.

9. Привести формулы и описать алгоритм метода Холесского.