1.5. Содержание отчета
Отчет должен содержать:
1. Матрицу коэффициентов и столбец свободных членов хорошо обусловленной матрицы с размерностями 4х4, 5х5, 6х6.
2. Решение СЛАУ (столбец).
3. Значение коэффициента обусловленности для хорошо обусловленной матрицы.
4. Матрицу коэффициентов и столбец свободных членов плохо обусловленной матрицы с размерностями 4х4, 5х5, 6х6.
5. Решение СЛАУ (столбец).
6. Значение коэффициента обусловленности для плохо обусловленной матрицы.
7. Значения погрешностей вычисления при различных точностях задания столбца свободных членов (10-4, 10-5, 10-6).
8. Выводы.
Контрольные вопросы
1. Описать алгоритм прямого метода Гаусса.
2. Описать алгоритм обратного метода Гаусса.
3. Получить оценку числа арифметических операций для прямого хода метода Гаусса.
4. Получить оценку числа арифметических операций для обратного хода метода Гаусса.
5. Дать определение стандартного числа обусловленности.
6. Привести вывод оценки погрешности решения в зависимости от погрешности задания вектора правых частей.
7. Привести вывод зависимости оценки погрешности решения от погрешности задания матрицы.
8. Привести вывод оценки погрешности решения в случае возмущения матрицы и вектора правых частей.
9. Доказать, что
.
10. Привести примеры
матриц, для которых
.
2. Метод lu-разложения и метод Холесского для решения слау
2.1. Алгоритм lu-разложения
Данный алгоритм можно рассматривать как конкретную форму метода Гаусса. Алгоритм LU-разложения используется не только для решения СЛАУ, но и также для обращения матрицы, т.е. вычисления матрицы, обратной данной.
Пусть
и
, (2.1)
где L и U – соответственно нижняя и верхняя треугольные матрицы вида
.
Известно, что если все угловые миноры матрицы A отличны от нуля, т.е.
то разложение вида
(2.1) существует и единственно, однако на
доказательстве этого факта мы
останавливаться не будем. Для того чтобы
получить расчётные формулы, поступим
следующим образом. Обозначим
как произведение i-й
строки матрицы L
на j-й
столбец матрицы U,
причём будем считать в начале , что
.
Тогда
.
Выразим
из последней формулы
.
. (2.2)
Как
это принято, будем считать в формуле
(2.2) и далее, что сумма вида
равна нулю, если значение верхней границы
индекса суммирования меньше нижней
границы.
В случае i=j имеем
Учитывая,
что
и, выражая из последнего соотношения
,
получаем
(2.3)
Наконец,
при
получаем
откуда, с учетом того, что ujj 1, приходим к формуле
(2.4)
Итак, расчетные формулы (2.2) – (2.4) получены. Для того чтобы при их применении не использовались неизвестные (не вычисленные) величины, необходимо выбрать соответствующий порядок вычисления элементов матриц L и U.
Например,
можно рекомендовать порядок расчета
элементов матриц L
и U,
схематически изображенный на рис.1. На
нем цифры слева для матрицы L
и сверху
для матрицы U
означают, что на первом шаге рассчитывается
по формуле (2.3), затем вычисляется элемент
по формуле (2.2).
Далее
(3 шаг) определяются элементы второй
строки матрицы L
в порядке, указанном стрелкой:
и
(по формулам (2.4) и (2.3) соответственно).
На
4 шаге выполняется расчет элементов 3
столбца матрицы U
в порядке, обозначенном стрелкой:
,
(формулы (2.2)) и т.д.
Рис. 2.1
Пример 1. LU – разложение матрицы.
.
По
формуле (2.3) для
определяем
.
В соответствии с рис. 2.1 далее вычисляем
по формуле (2.2)
Переходим к определению элементов второй строки матрицы L (рис. 2.1) по формулам (2.4) и (2.3)
,
Следующий
этап – расчет элементов третьего столбца
матрицы
по формуле (2.2)
Завершающий этап – определение элементов 3 строки матрицы L
; 
,
Выпишем
полученное разложение, учитывая, что
по определению
Рассмотрим теперь применение LU-разложения для решения СЛАУ вида
,
где .
Введем вспомогательный вектор y,
. (2.5)
Тогда исходную систему можно записать так
. (2.6)
В силу формул (2.5) и (2.6) решение исходной СЛАУ сводится к последовательному решению систем (2.6) и (2.5) соответственно с верхней и нижней треугольной матрицами.
Пример 2. Используя метод LU-разложения, решить СЛАУ вида
.
Заметим, что матрица данной системы совпадает с матрицей A из примера 1, для которой требуемое разложение уже получено. Таким образом, решение данной системы сводится к последовательному решению систем
и 
Из первой системы последовательно находим
,
,
.
Подставляя
найденные значения
,
и
во вторую систему, и последовательно
определяем
,
,
:
;
;
.
Непосредственной подстановкой найденных значений , и в исходную систему можно убедиться, что решения найдены верно.