1.4. Задание
Необходимо решить СЛАУ, у которой матрица коэффициентов хорошо обусловлена и имеет размерность 4х4, а также решить СЛАУ с матрицей коэффициентов плохо обусловленной, размерностью 4х4. Обе системы имеют одинаковые теоретические решения.
Найти абсолютную и относительную погрешности решения СЛАУ, округлив столбец свободных членов до 10-4, 10-5, 10-6.
Аналогично решить СЛАУ и найти погрешность для матриц коэффициентов с размерностями 5х5, 6х6.
Все результаты численных экспериментов свести в таблицу.
Сделать выводы. Оформить отчет по лабораторной работе.
1.5. Порядок выполнения работы на компьютере
Войти в MathCAD, для этого нужно набрать:
Имя пользователя: Vmstudent
Пароль: student
Вход в: VM
После входа в систему запустить MathCAD 2000 Professional.
Порядок выполнения работы
Задаем число элементов матрицы
.
Устанавливаем счетчики столбцов и строк
; 
.
Присваиваем элементам хорошо обусловленной матрицы Ag значения
.
Выясняем вид матрицы Аg
.
Присваиваем значения матрицы свободных членов
.
Проверяем невырожденность матрицы
.
Вывод: матрица невырожденная.
Объединяем матрицы Ag и Bg в полную матрицу для приведения к треугольному виду
.
.
Приводим полученную полную матрицу к треугольному виду, необходимому для решения прямым методом Гаусса
.
.
Разделяем полную матрицу на матрицу коэффициентов и столбец свободных членов, полученные после приведения к треугольному виду
.
Решаем СЛАУ прямым методом Гаусса
.
Находим коэффициент обусловленности матрицы Аg
, 
,
, 
,
.
Вывод: матрица хорошо обусловлена.
Проверяем правильность нахождения коэффициента обусловленности с помощью стандартной функции пакета MathCad
.
Присваиваем элементам плохо обусловленной матрицы Ab значения
; 
;
.
В общепринятых обозначениях элементы матрицы Гильберта записываются иначе:
,
, 
.
Разница в форме записи вызвана тем, что индексы элементов матриц в MathCad нумеруются, начиная с “0”.
Выясняем вид матрицы Аb
.
Присваиваем значения матрицы свободных членов
.
Проверяем невырожденность матрицы
.
Вывод: матрица невырожденная.
Объединяем матрицы Ab и Bb в полную матрицу для приведения к треугольному виду
.
Приводим полученную полную матрицу к треугольному виду, необходимому для решения прямым методом Гаусса
.
.
Разделяем полную матрицу на матрицу коэффициентов и столбец свободных членов, полученные после приведения к треугольному виду
,
,
,
.
Решаем СЛАУ прямым методом Гаусса
.
Находим коэффициент обусловленности матрицы Аb
, 
,
, 
,
.
Вывод: матрица плохо обусловлена.
Проверяем правильность нахождения коэффициента обусловленности с помощью стандартной функции пакета MathCad
.
Найдем абсолютную погрешность решения СЛАУ, учитывая, что обе системы имеют одинаковые корни
,
,
.
Найдем относительную погрешность решения СЛАУ, учитывая, что обе системы имеют одинаковые корни
,
,
.
Найдем теоретическое значение относительной погрешности, положив точность задания свободных членов, равной 10-6
.
,
,
.
Определить погрешности вычисления корней, округлив столбец свободных членов до 10-5, 10-4. Результаты численных экспериментов свести в таблицу.