- •Часть I
- •Введение
- •1. Метод Гаусса
- •1.1. Описание метода Гаусса
- •1.2. Норма матриц и обусловленность
- •1.4. Задание
- •1.5. Порядок выполнения работы на компьютере
- •Порядок выполнения работы
- •1.5. Содержание отчета
- •2. Метод lu-разложения и метод Холесского для решения слау
- •2.1. Алгоритм lu-разложения
- •2.2. Алгоритм треугольного разложения положительно определенных симметричных матриц и его применение для решения слау
- •2.4. Задание
- •2.5. Порядок выполнения работы на компьютере
- •Порядок выполнения работы
- •2.5.2. Разложение Холесского
- •2.6. Содержание отчета
- •3. Метод прогонки
- •3.1. Описание метода прогонки
- •3.3. Задание
- •3.4. Порядок выполнения работы на компьютере
- •Порядок выполнения работы
- •3.5. Содержание отчета
- •Библиографический список
1.2. Норма матриц и обусловленность
В курсе высшей математики вводится понятие линейного пространства M как множества, в котором определены операции сложения и умножения на действительные (или комплексные) числа, удовлетворяющие ряду аксиом. Известно, что любое конечномерное (n-мерное) линейное пространство эквивалентно пространству арифметических векторов
, (1.9)
в котором введены операции сложения векторов и умножения вектора на действительное число:
,
. (1.10)
Столбцы матрицы A порядка можно рассматривать как систему n арифметических векторов из Rn.
Определение. Линейное пространство M называется нормированным, если каждому элементу поставлено в соответствие единственное неотрицательное число называемое нормой x, и удовлетворяющее свойствам:
1) , причем ;
2) для любого действительного числа ;
3) - для любых x, .
Чаще всего в Rn используются нормы
,
.
Среди наиболее употребительными являются норма
, (1.11)
а также евклидова норма .
Обычно в задачах решения СЛАУ приходится одновременно оперировать и с векторами, и с матрицами, и с их произведениями. При этом, если в Rn введена норма для векторов x, то норма должна быть определена и для матриц и эти две нормы (вектора и матрицы) должны быть согласованы между собой.
Определение. Матричная и векторные нормы в Rn называются согласованными, если выполняется неравенство
для любой матрицы A и любого вектора x.
Наиболее простой способ добиться согласованности матричной нормы с нормой, уже введенной в Rn,-принять следующее:
Определение. Матричной нормой матрицы A, подчиненной векторной норме , называется
.
Такая норма называется еще операторной нормой.
Пример. Подчиненные векторным нормам матричные нормы имеют для квадратной матрицы , соответственно вид
.
Всякая операторная норма, помимо свойств 1-3, обладает еще двумя важными свойствами:
1. для любых матриц A и B;
2. для единичной при любом n .
Важной характеристикой квадратной матрицы A является ее стандартное число обусловленности.
Определение. Стандартным числом обусловленности квадратной невырожденной матрицы A является положительное число, определяемое . Считают условно матрицы, у которых хорошо обусловленными. В противном случае, т.е. при плохо обусловленными.
Пример. Найти стандартное число обусловленности матрицы
.
Находим обратную матрицу
.
Вычислим нормы и :
,
,
.
Матрица A хорошо обусловленная.
На практике при решении СЛАУ (1.1) любым методом, в том числе и методом Гаусса, вычисления производятся с округлениями, т.е. неточно. Погрешности вычислений можно интерпретировать как возмущения правой части .
Выясним, как связаны возмущения решения с возмущением правой части . Имеем , . Вычитая из второго операторного уравнения первое, получим . Из последнего уравнения имеем , a затем . Разделим обе части последнего неравенства на
.
Замечая, что , имеем
.
Окончательно
. (1.12)
Таким образом, относительная погрешность решения СЛАУ не превосходит произведения числа обусловленности матрицы A на относительную погрешность части . Для плохо обусловленных матриц A относительная погрешность решения СЛАУ может стать как угодно большой.
Кроме возмущений правой части , могут возникнуть возмущения матрицы системы .
Если правая часть СЛАУ b задана точно, тогда вместо (1.12) имеем следующую оценку для относительной погрешности
. (1.13)
Полная оценка относительной погрешности имеет вид
. (1.14)
Таким образом, на точность решения СЛАУ (1.1) влияют преимущественно два фактора: число обусловленности матрицы A и эквивалентное возмущение , чем больше числа и , тем меньше точность решения.
1.3.Варианты заданий
№ варианта |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
n=4 |
|
4.00000 2.71667 2.10000 1.72143 |
8.08333 4.00000 3.05000 2.48095 |
8.16687 5.28333 4.00000 3.24047 |
10.25000 6.56667 4.95000 4.00000 |
|
20.00000 21.00000 23.00000 26.00000 |
28.00000 29.00000 31.00000 34.00000 |
36.00000 37.00000 39.00000 42.00000 |
44.00000 45.00000 47.00000 50.00000 |
|
n=5 |
|
4.99999809 3.54999828 2.81428337 2.34642792 2.01745987 |
7.28333282 4.99999714 3.90714073 3.23095036 2.76309395 |
9.56666565 6.44999886 4.99999619 4.11547470 3.50872898 |
11.84999847 7.89999866 6.09285545 4.99999714 4.25436306 |
|
30.00000000 31.00000000 33.00000000 36.00000000 40.00000000 |
40.00000000 41.00000000 43.00000000 46.00000000 50.00000000 |
50.00000000 51.00000000 53.00000000 56.00000000 60.00000000 |
60.00000000 61.00000000 63.00000000 66.00000000 70.00000000 |
|
n=6 |
|
5.99999714 4.40714073 3.56428337 3.01309395 2.61745930 2.31727791 |
8.44999886 5.99999619 4.78214073 4.00872803 3.46309280 3.05382156 |
10.89999866 7.59285545 5.99999619 5.00436306 4.30872822 3.79036522 |
13.34999752 9.18571281 7.21785545 5.99999619 5.15436268 4.52690983 |
|
42.00000000 43.00000000 45.00000000 48.00000000 52.00000000 57.00000000 |
54.00000000 55.00000000 57.00000000 60.00000000 64.00000000 69.00000000 |
66.00000000 67.00000000 69.00000000 72.00000000 76.00000000 81.00000000 |
78.00000000 79.00000000 81.00000000 84.00000000 88.00000000 93.00000000 |
|
№ варианта |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
n=4 |
|
3.99999905 2.71666527 2.09999847 1.72142792 |
6.08333302 3.99999809 3.04999828 2.48095036 |
8.16666603 5.28333282 3.99999714 3.24047470 |
10.24999905 6.5666565 4.94999886 3.99999714 |
|
20.00000000 21.00000000 23.00000000 26.00000000 |
28.00000000 29.00000000 31.00000000 34.00000000 |
36.00000000 37.00000000 39.00000000 42.00000000 |
44.00000000 45.00000000 47.00000000 50.00000000 |
|
n=5 |
|
4.99999809 3.54999828 2.81428337 2.34642792 2.01745987 |
7.28333282 4.99999714 3.90714073 3.23095036 2.76309395 |
9.56666565 6.44999886 4.99999619 4.11547470 3.50872898 |
11.84999847 7.89999866 6.09285545 4.99999714 4.25436306 |
|
30.00000000 31.00000000 33.00000000 36.00000000 40.00000000 |
40.00000000 41.00000000 43.00000000 46.00000000 50.00000000 |
50.00000000 51.00000000 53.00000000 56.00000000 60.00000000 |
60.00000000 61.00000000 63.00000000 66.00000000 70.00000000 |
|
n=6 |
|
5.99999714 4.40714073 3.56428337 3.01309395 2.61745930 2.31727791 |
8.44999886 5.99999619 4.78214073 4.00872803 3.46309280 3.05382156 |
10.89999866 7.59285545 5.99999619 5.00436306 4.30872822 3.79036522 |
13.34999752 9.18571281 7.21785545 5.99999619 5.15436268 4.52690983 |
|
30.00000000 31.00000000 33.00000000 48.00000000 52.00000000 57.00000000 |
40.00000000 41.00000000 43.00000000 60.00000000 64.00000000 69.00000000 |
50.00000000 51.00000000 53.00000000 72.00000000 76.00000000 81.00000000 |
60.00000000 61.00000000 63.00000000 84.00000000 88.00000000 93.00000000 |