Модель процесса теплопередачи
Рассмотрим аналитическое описание процессов передачи тепла.
Передача тепла относится к довольно сложным задачам описания процессов в форме дифференциальных уравнений. Это связано в первую очередь с тем, что передача тепла осуществляется на основе трех различных физических процессов:
теплопередачи, когда на молекулярном уровне быстродвижущиеся молекулы в точке с более высокой температурой за счет соударения с соседними молекулами отдают им часть своей энергии, увеличивая тем самым скорость медленных молекул и повышая в конечном счете температуру в соседней области;
излучения и
конвекции.
Принятие во внимание сразу всех трех физических эффектов для описания передачи тепла обычно не используется. В каждом конкретном случае с самого начала принимается решение о преобладании того или иного эффекта и два других не рассматриваются.
Рассмотрим процесс теплопередачи. Обычно задача ставится следующим образом:
найти уравнения, связывающие изменение во времени температуры тела, находящегося в контакте с горячей средой, при заданном изменении температуры среды.
В общем случае это приводит к дифференциальным уравнениям в частных производных, так как температура тела зависит не только от времени, но и от трех пространственных координат.
Для упрощения задачи и сведения уравнений к обыкновенным дифференциальным уравнениям принимают ряд упрощающих допущений таких как одинаковость температуры горячей среды во всех точках, постоянство тепловых параметров и т.д. Кроме того, сводят задачу или к плоскому распространению тепла без учета краевых эффектов или используют какой-либо тип симметрии, наиболее подходящий к конкретной ситуации, и тогда рассматривают распространение тепла вдоль оси симметрии.
Рассмотрим для примера плоскую задачу передачи тепла от горячей среды (топки) с температурой Тс (температура среды) твердому телу, температуру которого обозначим Тn (температура приемника). Требуется построить модель
Рис. 5. Искомая модель теплопередачи
Будем рассматривать процесс в трубке с поперечным сечением S
Рис. 6. Поток тепла от среды к приемнику
Из физики известно, что количество тепла Q1, переданного от горячей среды холодному телу за время dt, пропорционально dt, площади S и разности температур Тс Тn
Q1 = c S (Тс Тn) dt,
где c коэффициент теплопередачи, характеризующий данное тело (размерность его кал/(м2 град сек)).
Количество тепла Q2, полученное приемником, пропорционально массе тела m и изменению температуры приемника dTn за то же время
Q2 = C m dTn,
где C удельная теплоемкость (кал/(кг град) ).
Приравнивая эти два количества тепла, получаем
С m dTn = c S (Tc Тn) dt
или:
или
,
где
постоянная времени
модели в виде звена первого порядка:
Рис. 7. Модель теплопередачи
Полученная упрощенная модель позволяет в целом верно оценить инерционность звена, как объекта управления, и анализировать зависимость этой инерционности от массы, размеров и теплофизических свойств тела.
Если числовые значения коэффициентов C и c отсутствуют в справочнике, то возможно потребуются специально поставленные эксперименты для их определения.
Рассмотрим дополнительно ситуацию, когда два тела с разными теплофизическими свойствами находятся в контакте друг с другом и с горячей средой (теплообменник или датчик температуры в защитном чехле и т.п.).
Рис. 8. Теплопередача двум приемникам
В этом случае задачу приближенно рассматривают как передачу тепла от горячей среды первому телу, которое непосредственно в контакте со средой, а затем рассматривают передачу тепла от первого тела ко второму. Если при малой толщине первого тела можно принять гипотезу, что его температура примерно одинакова в любой точке, то вторая задача решается аналогично первой и тогда получаем:
где y1 температура первого тела; y2 температура второго тела; T1, T2 постоянные времени, обусловленные первым и вторым телом соответственно.
Исключая из этих уравнений переменную y1, получим модель в виде:
Легко можно показать, что полученное дифференциальное уравнение второго порядка не может иметь колебательного решения. Это обстоятельство соответствует реально наблюдаемым процессам теплопередачи и может служить в некоторой мере основанием допустимости принятых упрощений. Если бы конечное уравнение допускало колебательные решения, которые нельзя получить на практике, то скорей всего мы бы стали искать возможность построить более точную модель.