26. Идентификация по апериодической переходной функции с точкой перегиба звена первого порядка с запаздыванием

В некоторых случаях (например, при ориентировочных расчетах) можно h(t) апериодического звена второго или большего порядка аппроксимировать передаточной функцией вида:

Проводя касательную в точке перегиба, как показано на рис. 26, в первом (грубом) приближении можно принять  = T_a; T = T_b (см. кривую 1 на рис. 28).

Рис. 28. Аппроксимация с чистым запаздыванием

Более подходящие значения  и Т могут быть найдены, если потребовать, чтобы аппроксимирующая h_a(t) проходила через точку перегиба и чтобы касательная для h(t) в точке перегиба была бы также касательной и для h_a(t). [См. ТАУ, часть 1, под ред. А.В.Нетушила, 1976, стр.263-264]

При t > : Положим

тогда будем иметь систему уравнений:

Решение системы:

27. Метод кратных корней

Определение постоянной времени Т и кратности n для модели системы в виде

можно выполнить с использованием информации о всей кривой переходного процесса h(t).

Метод использует вычисление площади, заключенной между уровнем установившегося значения К и кривой h(t):

Рис. 29. Площадь S.

Поскольку теоретически для искомой модели переходная функция h(t) описывается выражением:

то

В последнем выражении находим табличный интеграл:

После подстановки табличного интеграла получаем:

S = K T n

Алгоритм вычисления T и n по экспериментальной кривой может быть следующим:

1. По экспериментальной кривой или по статической характеристике оценивается величина К.

2. Каким-либо подходящим методом численного интегрирования вычисляется площадь

3. Для последовательных значений n = 1, 2, 3 ... вычисляют соответствующие значения по формуле

4. Для каждой пары значений n и T можно вычислить затем h(t) и оценить тем или иным способом разность h(t)  , например:

5. В качестве результата выбирается та пара n и T, которой соответствует минимум .

28. Метод площадей

Метод ориентирован на вычисление коэффициентов характеристического уравнения для модели

(*)

Получение формул для вычисления коэффициентов A_i начнем с рассмотрения преобразования Лапласа:

С другой стороны:

Обозначим 1 - h(t)/K = x, тогда, учитывая, что

где

Приравнивая результаты, получаем тождество:

Приводя к общему знаменателю и приравнивая коэффициенты при равных степенях s, получаем:

A₁ = M₀

A₂ = M₁ + A₁M₀

A₃ = M₂ + A₁M₁ + A₂M₀

A₄ = M₃ + A₁M₂ + A₂M₁ + A₃M₀

                

A_n = M_n1 + A₁M_n2 + … + A_n2M₁ + A_n1M₀; n = 2, 3, …

Вычисляя по экспериментальной h(t) приближенные значения M_i, по полученным формулам можно последовательно вычислить A_i. Первые n уравнений в приведенной системе всегда имеют n неизвестных коэффициентов A_i.

Если подставить в последнюю формулу выражение для M_i, то можно получить формулу для вычисления A_i в виде:

Эта формула позволяет вычислять A_i по выражениям (см. лаб. раб.):

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .