24. Идентификация параметров колебательного звена 2-го порядка

Дифференциальное уравнение звена

a₂ y"(t) + a₁ y'(t) + a₀ y(t) = b₀ x(t) .

Для нулевых начальных условий: y(0) = 0; y'(0) = 0; звено можно описать передаточной функцией

Чаще эту передаточную функцию записывают в форме:

где

K = b₀/a₀  статический коэффициент передачи;

 постоянная времени звена;

 собственная (резонансная) частота звена;

 степень затухания.

Если известны три параметра K, T₀, d, то коэффициенты b₀, a₁, a₂ при произвольном значении a₀ вычисляются по формулам

b₀ = K a₀; a₁ = 2d T₀ a₀; a₂ = T₀² a₀.

Характеристическое уравнение

T₀² p² + 2d T₀ p + 1 = 0.

Корни характеристического уравнения

где  = d/T₀  коэффициент затухания;  круговая частота колебаний  период колебаний);

будут комплексными, т.е. звено будет колебательным, при 0  d < 1 .

Переходная функция

изображена на рис. 25.

Рис. 25. Измеряемые отрезки на колебательной переходной функции.

[См. ТАУ, часть 1, под ред. А. В. Нетушила, 1976, стр.92]

Для идентификации звена (т.е. для вычисления его параметров) по переходной функции h(t) определяются

K, A₁, A₂, T

и вычисляется затем степень затухания d в качестве одного из идентифицируемых параметров по формуле:

Действительно, рассмотрим выражение dh/dt = 0, из которого получим моменты времени, соответствующие экстремумам h(t).

Дифференцирование и сокращение дает

(² + ²) sin t = 0.

Для первых двух максимумов h(t) имеем в результате

Подставляем t_1m и t_2m в h(t) и, вычитая из каждого максимума K, получим значения A₁ и A₂:

Откуда ln(A₁/A₂) = 2/. Так как , то

откуда

Кроме того, можно вычислить

Этими формулами можно пользоваться при малой степени затухания (примерно при d < 0.4).

При больших d трудно определить A₂, поэтому в этом случае определяют (см. рис. 25)

K, A₁, t₁.

Тогда параметры могут быть вычислены как

Эти формулы применимы при 0.4 < d < 0.7.

25. Определение параметров апериодического звена 2-го порядка

При коэффициенте затухания больше единицы звено второго порядка становится апериодическим и его передаточную функцию можно представить в виде:

Соответствующая переходная функция:

Горизонтальная асимптота дает величину К.

Т₁ и Т₂ находятся по точке перегиба и положению касательной в точке перегиба.

Существует несколько методов определения T₁ и Т₂.

Рис. 26. Апериодическое звено 2-го порядка

Метод отрезков T_b и T_c

Усовершенствованный метод идентификации апериодических объектов 2-го порядка (метод отрезков T_b и T_c).

На экспериментальной h(t) (см. рис. 26) измеряется Т_b и Т_c = Т₁ + Т₂ и вводятся обозначения

Можно показать, что

По этим уравнениям можно построить кривую y = f(x) (для 1  x  e/2 и 0  y  0.25) и использовать ее для нахождения у по экспериментальному значению x.

Рис. 27. Метод отрезков T_b и T_c.

Решая систему уравнений

относительно неизвестных T₁ и T₂, получаем:

Если x > e/2  1.359, то система, возможно, не второго порядка.