19. Взвешенный мнк и другие разновидности мнк

Взвешенный МНК применяется, когда различным ошибкам _i придается различный вес или за счет старения результатов измерения от t₁ к t_N или за счет неодинаковой точности измерений.

Метод состоит в использовании критерия вида:

где  диагональная матрица весов.

Возможные принципы назначения весов:

1. Первым измерениям (наблюдениям) назначаются меньшие веса, последним большие (учет старения информации) при условии 0  q_i  1.

2. Веса назначаются как величины пропорциональные обратной величине погрешности измерений:

или

где _i  инструментальная погрешность; _i  среднеквадратичная погрешность измерений; k  коэффициент пропорциональности.

Существуют и другие разновидности МНК

Если в модели со многими входами

(*)

вместо x_j(t_i) взять сигнал одного (например, первого) входа в разных степенях, то можно построить методом МНК одномерную нелинейную модель

Подставляя в модель (*) вместо x_j(t_i) различные комбинации

x₁(t_i)^p x₂(t_i)^q ... x_j(t_i)^r ...,

можно строить МНК многомерные нелинейные модели.

В модели (*) вместо x_j(t_i) можно использовать различные функции от входных отсчетов x_j(t_i). Очень часто в этом случае используются системы ортогональных функций.

20. Получение модели по частотным характеристикам

Моделирование с помощью активного эксперимента выполняется обычно вне контура регулирования. Наиболее распространены активные воздействия в виде синусоидальных сигналов, а также в виде ступенчатых и импульсных воздействий.

Пусть на частотах _i, i=1..N выполняется снятие частотных характеристик.

Рис. 19. Схема снятия частотных характеристик

По 2N результатам эксперимента

A(_i) = A_i; (_i) = _i

вычислим значения вещественной и мнимой частотных характеристик

R_i =A_i cos _i; Ii = Ai sin _i.

Будем искать передаточную функцию в виде

Соответствующее описание системы в виде дифференциального уравнения:

Пусть для краткости положим n = 3 и m = 2, тогда для каждого i-го опыта

y = A_i sin(_it + _i); x = sin _it;

dy/dt = _i A_i cos(_it + _i); dx/dt = _i cos _it;

d²y/dt² = _i² A_i sin(_it + _i); d²x/dt² = _i² sin _it;

d³y/dt³ = _i³ A_i cos(_it + _i).

После подстановки этих выражений для установившегося синусоидального режима в дифференциальное уравнение получим тождество, справедливое на данной частоте _i для любого момента времени t:

A_i sin(_it + _i) + B₁ _i A_i cos(_it + _i)  B₂ _i² A_i sin(_it + _i) 

 B₃ _i³ A_i cos(_it + _i) = A₀ sin _it + A₁ _i cos _it  A₂ _i² sin _it

Учтем преобразования:

A_i sin(_it + _i) = A_i (sin _it cos _i + cos _it sin _i) = R_i sin _it + I_i cos _it

A_i cos(_it + _i) = A_i (cos _it cos _i  sin _it sin _i) = R_i cos _it  I_i sin _it

Поскольку тождество имеет место для любого момента времени t, то выберем некоторый момент t^* из условия:

_it^* = /4, т.е. t^* = /(4_i),

тогда sin _it^* = cos _it^* и тождество можно записать как

R_i + I_i + B₁ _i (R_i  I_i)  B₂ _i² (R_i + I_i)  B₃ _i³ (R_i  I_i) = A₀ + A₁ _i  A₂,

или, собирая неизвестные в левой части:

A₀ + A₁ _i  A₂  B₁ _i (R_i  I_i) + B₂ _i² (R_i + I_i) + B₃ _i³ (R_i  I_i) = R_i + I_i.

Если в полученную систему уравнений подставить экспериментальные значения R_i и I_i, то равенство для каждого i будет приближенным. Тогда систему уравнений можно решать МНК, введя невязку как разность между левой и правой частями. Введенная таким образом невязка будет линейна относительно искомых коэффициентов и вычисление их МНК даст несмещенные оценки.

Точность вполне удовлетворительная (различие в коэффициентах обусловлено лишь погрешностями округления).