6.2. Проблема континуума и континуум-гипотеза

Проблема континуума в списке важнейших математических проблем, представленных Д.Гильбертом в 1900 году на II Международном Конгрессе математиков в Париже, стояла первой. Ранее показано, что множество всех подмножеств натурального ряда, то есть счётного, то есть дискретного множества, имеет мощность континуума, то есть непрерывно. Кантор сформулировал гипотезу, что промежуточных мощностей между счётными дискретными множествами и непрерывными множествами не существует.

6.3. Аксиома выбора и парадоксы наивной теории множеств.

Если бы удалось доказать континуум-гипотезу, то тогда континуум, непрерывное было как бы отождествлено с некоторым вполне упорядоченным множеством, было бы, так сказать, сложено из точек.

Два вполне упорядоченных множества всегда можно сравнить между собой: отобразить одно на часть другого. Из этого следует сравнимость соответствующих этим множествам ординалов. А из последнего — и сравнимость соответствующих ординалам кардиналов, т.е. мощностей множеств. Значит, любые мощности — а значит, и мощность континуума, и алефы — сравнимы, если соответствующие им множества можно вполне упорядочить.

Но как это сделать для конкретных множеств непонятно. Уже отмечалось, что одномерный континуум, например интервал действительных чисел (0; 1), взятых в их естественном упорядочении по величине, не является вполне упорядоченным множеством. Множество рациональных чисел Q  в его естественном упорядочении по величине также не является вполне упорядоченным множеством. Но его можно упорядочить, потому что Q есть счетное множество, т.е. его можно поставить во взаимно-однозначное соответствие с N. Таким же образом можно вполне упорядочить любое счетное множество. Но Кантор показал, что континуум есть несчетное множество.

В 1904 году Э.Цермело доказал теорему о том, что любое множество может быть вполне упорядочено. Доказательство опиралось на безобидную мысль, что в бесконечном множестве множеств можно осуществить процедуру выбора в каждом из этих множеств одного элемента. Она получила название аксиомы выбора (или аксиомы Цермело) и вошла в число семи аксиом теории множеств, предложенных также Цермело и Френкелем в 1908 году.

Таким образом, Цермело и Френкель поставили наивную теорию множеств на аксиоматическую основу. Необходимость введения аксиоматики была связана с противоречиями теории множеств, придуманных специально с целью обнаружить в ней противоречия. Все они построены по следующей схеме: предположим, что существует некоторый объект X. Тогда этот объект X одновременно обладает и не обладает некоторым свойством. Но это в точности и значит, что требуемого объекта X не существует. Именно так устроены доказательства от противного.

Парадокс Рассела. Факторизуем все множества таким образом: “нерефлексивные”, то есть те, которые не содержат себя в качестве своего элемента (множество крокодилов не крокодил), и “рефлексивные”, содержащие себя в качестве своего элемента (множество поворотов поворот). Рассмотрим множество всех нерефлексивных множеств. Если оно нерефлексивно, то есть не содержит себя в качестве своего элемента, то оно должно входить в множество по определению множества , то есть оно рефлексивно и не входит в него. Если же оно рефлексивно, то есть содержит себя в качестве своего элемента и таким образом не входит в множество , оно входит в множество по определению рефлексивного множества. Парадокс Рассела можно сформулировать и не используя теорию множеств. Вот классические формулировки.

Брадобрей. Вождь повелел, чтобы единственный брадобрей деревни брил тех и только тех мужчин, которые не бреются сами. Должен ли он брить себя?

Каталог. Библиотека решила составить библиографический каталог, в который входят те и только те каталоги, которые не включают себя. Включает ли такой каталог себя?

Ясно, что нельзя задавать множества произвольными словосочетаниями, то есть не любое свойство должно определять множество. Сюда же относится понятие “множество всех множеств”.

Парадокс Кантора. Рассмотрим множество всех возможных множеств. Оно должно обладать максимальной мощностью. Но тогда согласно теореме Кантора о больших алефах множество всех подмножеств данного множества имеет ещё большую мощность.

Отсюда первый способ борьбы с парадоксами – способ Кантора, в котором запрещаются все действия и операции, ведущие к парадоксам. Разрешается работать с множествами, которые “встречаются в природе” или получаются из них “разумными” теоретико-множественными операциями. Второй способ – аксиоматический (система аксиом Цермело–Френкеля, система аксиом Геделя–Бернайса).

Однако оказалось, что с помощью аксиомы выбора строятся такие экстравагантные примеры, как множество Витали, неизмеримое по Лебегу, или парадокс Банаха Тарского: можно разбить шар на конечное число частей, которые можно переставить так, что получатся два шара такого же размера, как и исходный шар. То есть следствия из аксиомы выбора совершенно противоречат нашей интуиции пространства.

Но аксиома Цермело применяется в доказательстве многих теорем как теории множеств, так и анализа. Например:

— объединение счетного числа не более чем счетных множеств само не более чем счетно;

— всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество;

— теорема о непрерывной функции, принимающей значения разных знаков на концах промежутка;

— лемма Больцано — Вейерштрасса о сходящейся подпоследовательности у ограниченной последовательности;

— теорема Коши о конечных приращениях;

— теорема Лопиталя о раскрытии неопределенностей и много других уже требуют применения аксиомы выбора.

Гёделем (1939) и Коэном (1963) было установлено, что аксиома выбора не может быть ни доказана, ни опровергнута исходя из системы аксиом Цермело Френкеля или какой-либо другой системы аксиом теории множеств. Более того, если теория множеств непротиворечива без аксиомы выбора, то она остается непротиворечивой и после присоединения к ней аксиомы выбора. Сложилось тем самым положение, напоминающее ситуацию с пятым постулатом Евклида в геометрии.