2.2 Законы логики

Логикой называется наука о способах представления результатов мышления, способах доказательных рассуждений. Любое рассуждение состоит из высказываний. Истинность сложного высказывания, вообще говоря, зависит от истинности элементарных высказываний. Но существует такие сложные высказывания, которые истинны всегда, вне зависимости от истинности элементарных высказываний. Они называются законами логики. Рассмотрим некоторые из них.

I группа – законы, которые нельзя доказать, пользуясь таблицами истинности.

Закон тождества = (или ). Предмет рассмотрения не должен меняться в ходе рассмотрения.

Пример. 2 и 3 числа. Числа бывают чётные и нечётные. 2 – чётное, 3 –нечётное. Но 2 и 3 есть 5. Следовательно 5 и чётно и нечётно одновременно. (изменился смысл «и»)

Закон достаточного основания. Любое высказывание должно быть достаточно обосновано. Этот закон запрещает ссылки при доказательстве на личное мнение, авторитеты, божественное откровение и пр.

Закон построения отрицания.  ~  . Неверно, что для любого выполняется условие , эквивалентно тому, что существует такой , что условие для него не выполняется. Правило построения отрицания для предложений, начинающихся с кванторов заключается в следующем: квантор заменяется на , квантор заменяется на , знак отрицания переносится на предложение, стоящее за всеми кванторами.

II группа – законы, которые доказываются, используя таблицы истинности. Их формулировка всегда начинается со значка – «тавтология», т.е. «всегда истинно».

Перечислим некоторые из них:

1. Закон исключённого третьего:

2. Закон исключения противоречий:  .

3. Закон двойного отрицания:   .

4. Закон Моргана: ~ .

5. Дизъюнктивная форма импликации: ~ .

6. Закон отрицания импликации: ~ .

7. Закон транзитивности: .

8. Закон контрапозиции: ~ .

9. Закон отрицания эквивалентности:  ~ .

10. Закон образования лжи: .

2. Соответствия

Описания того, что существует хоть в каком – либо

смысле, хоть в каком – либо смысле должны

соответствовать друг другу.

Алекс Алдер.

Соотношения между множествами называются соответствиями. Для определения соответствия надо определить два множества: множество (область) определения и множество (область) значений и указать “пары соответствий”. Соотношения между элементами одного множества называются отношениями между его элементами.

Определение 1. Два элемента одного или разных множеств, расположенные в определенном порядке, называется упорядоченной парой .

Определение 2. Две упорядоченные пары и равны, если .

Замечание. Естественно, , если .

Замечание. Упорядоченная n-ка (читается энка): .

Определение 3. Декартовым (прямым) произведением множеств и (обозначается ) называется множество всех упорядоченных пар таких, что , а . Множество называют областью определения или множеством прообразов, а множество – множеством значений или множеством образов.

Определение 4. Любое подмножество декартова произведения называется бинарным соответствием между множеством и (обозначается ). Если множества и совпадают, то говорят о бинарном отношении.

Пример. Область определения – студенческая группа, сдающая экзамен; множество значений – отл, хор, уд, неуд – множество оценок. Если явились все, то такое соответствие между студентами и их оценками называется всюду определённым, если кто-то не пришёл, то такое соответствие не всюду определённое.

Определение 5. Соответствие функционально (или является функцией), если каждому элементу области определения соответствует не более одного элемента множества значений.

Пример. Соответствие предыдущего примера функционально, потому что каждому студенту соответствует не более одной оценки. Видно, что функция может быть не всюду определена. Если бы за один экзамен студенты могли получать несколько оценок, то соответствие было бы не функционально.

Определение 6. Всюду определённая функция называется отображением, то есть отображение из в (обозначается ) – это правило, которое каждому элементу множества ставит в соответствие единственный элемент множества .

Комментарий. При этом двум элементам множества можно ставить в соответствие один и тот же элемент множества . Отображение всегда функционально. Обратное неверно, то есть не всюду определенная функция не является отображением.  Отображение можно записать в виде или , где и элементы некоторых множеств , , а заданное отображение. Если и числа, то числовая функция, если и векторы или функции, то оператор, если векторы или функции, а числа, то функционал. Иногда понятия отображения и функции не различаются. Тогда отдельно возникает вопрос об области определения.

Определение 7. Отображение называется сюръективным, если . Функция называется сюръективной, если каждому соответствует, по крайней мере, один .Таким образом, сюръективным отображением или “отображением НА” или накрытием множества , называют отображение всего множества на всё множество .

Пример. Если сопоставить множество студентов в группе с множеством фамилий в списке группы, с учётом возможных однофамильцев, то это отображение и будет сюръекцией, так как каждому студенту соответствует фамилия, но одна и та же фамилия может соответствовать разным студентам.

Определение 7. Отображение или функциональное соответствие называется инъективным, если каждому образу соответствует единственный прообраз, то есть если . Или, что тоже самое, . Функция называется инъективной, если каждому из множества соответствует не более одного .

Пример. Если сопоставить множество студентов в группе с множеством фамилий в списке студентов университета и считать, что в группе нет однофамильцев, то такое отображение и называется “отображением В”, или вложением. То есть разным студентам соответствуют разные фамилии, а в области значений могут быть и “незадействованные фамилии”.

Определение 9. Отображение называется биективным, если каждый элемент множества поставлен в соответствие ровно одному элементу множества .

Комментарий. Соответствие, которое одновременно всюду определено, функционально, инъективно и сюръективно называется биективным.

Определение 10. Биективное отображение множества в себя называется преобразованием.

Определение 12. Отображение называется гомоморфизмом, если: каждому элементу и каждому отношению между элементами множества соответствуют один элемент и одно отношение множества (но необязательно наоборот). Если гомоморфизм биективен, он называется изоморфизм. Изоморфизм это отображение, сохраняющее порядок, например:

Определение 13. Гомеоморфизмом называют частный случай изоморфизма. Два множества гомеоморфны, если существует взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение одного из них на другое.