Культурный минимум.

1. Что такое множество? Задание множеств. Свойства операций.

2. Что такое отношения? Бинарные отношения. Общие свойства отношений.

3. Отношение эквивалентности и его свойства.

4. Отношение строгого порядка и его свойства.

5. Отношение нестрогого порядка и его свойства.

6. Что такое отображение? Типы отображений: сюръекция, инъекция, биекция, гомоморфизм, гомеоморфизм.

7. Что такое линейный и полный порядок?

8. Эквивалентность множеств. Конечные, счётные, несчётные множества.

9. Кризисы в математике.

10. Проблема континуума, континуум-гипотеза и аксиома выбора.

11. Парадоксы Рассела и Кантора.

Вопросы.

1. Теоремы о счётных множествах: о подмножествах, о минимальности, об идемпотентности.

2. Теорема Кантора о континууме (оба доказательства).

3. Теорема Кантора о больших алефах.

4. Теорема Бернштейна об эквивалентности.

5. Показать, что множество всех действительных функций, непрерывных и нет, имеет мощность, большую, чем .

6. Метод трансфинитной индукции.

Задачи.

1. Установить биекцию между отрезком и всей числовой осью.

2. Доказать, что множество всех последовательностей нулей и единиц равномощно множеству всех подмножеств натурального ряда.

3. Доказать, что множество бесконечных последовательностей цифр 0, 1, 2, 3 равномощно множеству бесконечных последовательностей цифр 0 и 1, то есть имеет мощность континуума.

4. Доказать, что множество бесконечных последовательностей цифр 0,1,2 равномощно множеству бесконечных последовательностей цифр 0 и 1, то есть имеет мощность континуума.

5. Найти мощность множества точек единичного куба.

6. Найти мощность множества точек всех чисел отрезка [0,1] в разложении которых в троичную дробь отсутствует цифра 1.

7. Установить мощность множества всех сфер пространства с рациональными радиусами и центрами с рациональными координатами.

8. Установить мощность всех конечных подмножеств счётного множества.

9. Какова мощность множества попарно не пересекающихся отрезков на прямой?

10. Найти мощность множества всех треугольников на плоскости, с рациональными координатами вершин.

11. Найти мощность множества точек единичного квадрата.

12. Установить биекцию между множеством всех последовательностей и множеством всех возрастающих последовательностей натуральных чисел.

13. Найти мощность множества всех стационарных последовательностей действительных чисел.

14. Доказать, что множество всех бесконечных последовательностей из 0,1,2, в которых 0 и 1 встречаются конечное число раз, счетно.

15. Доказать, что множество точек плоскости, лежащих на графике любой функции, заданной на отрезке [0,1], имеет мощность континуума.

16. Являются ли данные отношения отношениями эквивалентности: “быть знакомым ”, “быть кратным”?

17. Сколько фактор-множеств содержит множество, состоящее из двух, трёх, четырёх элементов?

54