4. Бесконечные множества

Бесконечность это именно то место, где

происходит всё то, чего не может быть.

Алекс Алдер.

Определение 1. Множества A и B называются эквивалентными или равномощными, если существует хоть одна биекция f: , то есть отношение равномощности есть отношение эквивалентности.

Комментарий. В качестве эталона можно использовать любое вполне упорядоченное множество, но общепринято использование натурального ряда чисел.

Определение 2. Множество, допускающее биекцию с любым куском натурального ряда чисел , называется конечным. Число элементов в конечном множестве А называют его мощностью. .

Определение 3. Множество, допускающее биекцию со всем натуральным рядом чисел называется счетным. Мощность счетного множества называется алеф ноль.

Определение 3. Кардиналами называются классы эквивалентности множеств по отношению "равномощно".

Примеры. Множество целых чисел, множество чётных чисел, множество рациональных чисел, множество чисел вида , и так далее. Ряд натуральных чисел можно поставить во взаимно однозначное соответствие с рядами квадратов натуральных чисел, степеней двойки, факториалов и т. п.:

1 2 3 4 5 … 1 4 9 16 25 … 2 4 8 16 32 … 1 2 6 24 120

Комментарий. Данное рассуждение демонстрирует нарушение принципа “часть меньше целого” и лежит в основе парадокса Тристрама Шенди, предложенного Расселом в книге “Мистицизм и логика”. В романе Стерна “Жизнь и мнения Тристрама Шенди, джентльмена” герой обнаруживает, что ему потребовался целый год, чтобы изложить события первого дня его жизни, и еще один год понадобился, чтобы описать второй день. То есть материал его биографии накапливается быстрее, чем он сможет его обработать, и он никогда не сможет её завершить. Hо если бы он жил вечно, то события n-го дня Шенди мог бы описать за n-й год. Таким образом, он смог бы описать каждый день, а его жизнь насчитывала бы столько же лет, сколько дней.

Пример. Рассмотрим ещё один факт такого же рода. Построим бесконечное множество следующим образом: на каждом шаге в множество будем добавлять два элемента из натурального ряда, и после этого убирать первый в порядке следования. Получим следующую схему: {1, 2}; {2}; {2, 3, 4}; {3, 4}; {3, 4, 5, 6}; {4, 5, 6}… Возникает вопрос: сколько элементов будет в этом бесконечном множестве? Количество элементов возрастает. Но на первом шаге мы убрали из множества первый элемент, на втором шаге – второй и так далее. Если рассматривать каждый конкретно взятый элемент, то окажется, что его нет во множестве, то есть множество пустое.

Комментарий. Любое неконечное множество называется бесконечным. Очевидно, имеет место принцип Вейерштрасса: если бесконечное множество разбить на конечное число подмножеств, то по крайней мере одно из них будет бесконечно.

4.1.Теоремы о счётных множествах

Теорема 1. Любое подмножество счётного множества конечно или счётно. Так как множество счётно, то . Рассмотрим множество . Тогда некоторые из , то есть . Очевидно, это множество конечно или счётно. ■

Теорема 2 (О минимальности счётного множества). Из любого бесконечного множества можно выделить счётное подмножество так, что множество останется бесконечным. . Так как множество бесконечно, то и этот процесс не окончится. Таким образом, мы получим счётное множество и, по крайней мере, счётное множество .■

Теорема 3 (Об идемпотентности). Объединение 1)конечного числа конечных множеств конечно, 2)счётного числа конечных множеств счётно, 3)конечного числа счётных множеств счётно, 4)счётного числа счётных множеств счётно.

■. Доказательство заключается в указании процедуры пересчёта.

1) выписываем все элементы первого множества, потом все элементы второго, не совпадающие с элементами первого и так далее. 2) Множество строим пересчётом например, по следующей схеме: , выбрасывая совпадающие элементы.

3) Пересчёт

проводим, например, по следующей схеме:

4) . Множество строим пересчётом, например, по следующей схеме: , выбрасывая совпадающие элементы. ■

Комментарий. Точно таким же способом пересчёта можно показать счётность множества рациональных чисел, расположив их в виде бесконечной матрицы, выбрасывая совпадающие элементы: