3. 2. Отношения порядка

Комментарий. Понятия порядка в математике нет, как нет понятия снега в языке чукчей. Это всегда какой-то, вполне определённый порядок.

Определение 1. Отношение, обладающее свойствами асимметричности, антирефлексивности и транзитивности называется отношением строгого порядка.

Комментарий. Например, “быть больше” на множестве чисел, “быть после” в очереди, “быть старше”. Это определение избыточно потому, что асимметричность можно показать, но удобно. В самом деле, пусть асимметричность не имеет место, то есть . Тогда из транзитивности имеет место , что противоречит антирефлексивности.

Определение 2. Если отношение антисимметрично, рефлексивно и транзитивно, то порядок называют нестрогим, а часто просто порядком. Например, «быть не выше».

Определение 3. Если строгий порядок обладают свойством полноты, то есть для любой пары несовпадающих элементов имеет место или , или , то есть, нет несравнимых элементов, то его называют совершенным или линейным, а отношение порождает структуру совершенного строгого порядка.

Определение 4. Если нестрогий порядок обладают свойством полноты, то есть для любой пары элементов имеет место или , или , то есть, нет несравнимых элементов, то его называют совершенным или линейным, а отношение порождает структуру совершенного нестрогого порядка. Порядок называется частичным, если есть несравнимые элементы.

Определение 5. Множество , структурированное отношением с совершенным порядком, называется совершенно упорядоченным (частично или строго).

Пример. Пусть , тогда . Введём на множестве отношение строгого включения . Очевидно, что на множестве существуют несравнимые элементы, например , то есть отношение не порождает структуру совершенного строгого порядка.

Определение 6. Элемент называется мажорантой множества , если , а множество называют ограниченным сверху. Аналогично вводятся миноранта и ограниченное снизу множество.

Определение 7. Миноранта всех мажорант множества (если такая существует), называется супремумом множества и обозначается . Если , то он называется наибольшим элементом множества .

Аналогично вводятся нижняя грань , множества и наименьший элемент множества .

Определение 8. Если множество линейно упорядочено, и, кроме того, в любом его подмножестве можно выделить наименьший элемент, то оно называется вполне упорядоченным.

Определение 9. Любой класс эквивалентности вполне упорядоченных множеств по отношению "изоморфно" называют ординалом.

Пример. Множество натуральных чисел, любая последовательность, любое конечное линейно упорядоченное множество. Множество действительных чисел отрезка [0,1] при естественном способе упорядочения является линейно упорядоченным, но не является вполне упорядоченным, так как не всякое его подмножество имеет наименьший элемент, например, подмножество (0,1].