3. Отношения

Не относитесь к себе слишком всерьёз.

Пятое правило Черчилля.

(первых четырёх не существует)

Комментарий. Соотношения между элементами одного и того же множества называются отношениями. Отношения характеризуются иным перечнем свойств, нежели соответствия.

Определение 1. На некотором множестве  задано отношение  , если для любых двух элементов можно сказать, находятся ли они в отношении  или нет.

Комментарий. Можно сказать, что отношение  есть отображение :  , где значение 1 соответствует «истине», а значение 0 — «лжи» (здесь важен порядок, в котором берутся элементы  и ).

Определение 2. Отношение рефлексивно, если .

Комментарий. То есть отношение применимо к самому объекту. Например, отношение включения. Поскольку любое множество включено само в себя, то отношение включения обладает свойством рефлексивности. Отношение «спасения» на множестве утопающих – рефлексивно.

   Определение 3. Отношение антирефлексивно, если к самому объекту оно всегда неприменимо.

Например, «перпендикулярность» на множестве прямых. Прямая не может быть перпендикулярна самой себе.     Определение 4. Отношение симметрично, если .

Если Иванов «учится в одной группе» с Петровым, то справедливо и обратное.     Определение 5. Отношение асимметрично, если , но неверно, что . Если стольник можно “разменять” десятками, то обратное сложно. Определение 6. Отношение антисимметрично, если из и следует, что .   Определение 7. Полнота отношения означает, что для любой пары разных элементов данного множества данное отношение выполнимо на всём множестве.

Например, отношение “больше или равно” полно на множестве действительных чисел и не полно на множестве комплексных.    Определение 8. Отношение транзитивно, если из и следует, что .

Комментарий. Если Иванов “учится в одной группе” с Петровым, а Петров с Сидоровым, то Иванов “учится в одной группе” с Сидоровым. Отношение включения тоже транзитивно. Если группа «включена» в множество студентов университета, а это множество «включено» в множество студентов страны, то множество студентов группы «включено» в множество студентов страны. Но если студенческую группу рассматривать как элемент университета, понимаемого как множества, состоящего из групп, а университет рассматривать как элемент высшей школы – множества, состоящего из университетов, то группа не является элементом высшей школы (там элементы университеты). То есть отношение “принадлежности” не транзитивно.

Комментарий. Каждое конкретное отношение обладает совокупностью свойств. Рассмотрим важнейшие группы отношений, у которых совокупности свойств одинаковые.

3.1. Отношение эквивалентности

Определение 1. Отношение, обладающее свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности называется отношением эквивалентности.

Комментарий. Это, например, отношение “равенства” чисел, или отношение “учиться в одной студенческой группе”, или отношение изоморфизма. Это определение избыточно потому, что любое симметричное и транзитивное отношение рефлексивно. В самом деле, пусть (в силу симметричности). Тогда, в силу транзитивности, имеет место .

Теорема 1. Отношение эквивалентности разбивает множество на непересекающиеся подмножества классы эквивалентности.

Пусть и . То есть . Тогда и . Отсюда в силу транзитивности , но тогда .■

Определение 2. Множество классов эквивалентности данного множества называется фактор-множеством, а операция построения фактор - множества называется факторизацией.