2. Виды средних.

В каждом конкретном случае для реализации логической формулы средней используется один вид средней величины:

1. Степенные средние

1. средняя арифметическая;

2. средняя гармоническая;

3. средняя геометрическая;

4) средняя квадратическая, кубическая и т. д.

Перечисленные средние объединяются в общей формуле

2 . Структурные средние.

Они используются для характеристики ряда распределения. К структурным средним относятся мода и медиана.

3. При осреднении уровней моментных динамических рядов применяются различные виды средней хронологической, которые будут рассмотрены в теме "ряды динамики".

3. Средняя арифметическая, ее свойства.

Наиболее распространенным видом средних величин является средняя арифметическая, которая, как и все средние, в зависимости от характера имеющихся данных может быть простой или взвешенной.

Средняя арифметическая применяется в тех случаях, когда по исходным данным известен знаменатель логической формулы и неизвестен числитель, но его можно найти как сумму значений признака или сумму произведений значений признака на частоту.

С редняя арифметическая простая используется в тех случаях, когда расчет осуществляется по не сгруппированным данным.

Средняя арифметическая взвешенная применяется при расчетах по рядам распределения.

Свойства средней арифметической

1. Произведение средней на объем совокупности равно сумме произведений индивидуальных значений признака на частоту.

2 . Сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней величины равна 0

3. Если все частоты f_i умножить или разделить на какое либо число А, то средняя не изменится.

4. Если все варианты Х_i умножить или разделить на какое либо число k, то средняя соответственно изменится в k раз.

5. Если все варианты увеличить или уменьшить на число А, то средняя соответственно увеличится или уменьшится на число А.

Свойства 4-5 позволяют рассчитывать среднюю арифметическую по интервальным ряда распределения методом моментов. Этот метод применяется для упрощения вычислений.

Метод моментов расчета средней величины.

1. Определяется середина интервалов x_i как средина отрезка. При этом ширина открытых интервалов (первого и последнего) считается равной ширине последующего или предыдущего.

2 . Преобразуются исходные данные следующим образом:

где x_í – преобразованные данные;

x_i – исходные данные;

А – середина интервала с наибольшей частотой;

k – ширина интервала.

3 . Определяется средняя для преобразованных данных по формуле арифметической взвешенной.

4. Возвращаются обратно к исходной средней методом моментов:

Пример: Имеются данные распределения домохозяйств по уровню среднедушевого дохода. Результаты обследования представлены в таблице 1.

Таблица 1

Среднедушевой доход , руб.	До 200	200 -400	400 –600	600 –800	800 - 1000	1000 - 1200	1200 и более	Итого
Число домохозяйств	5	12	24	56	80	15	8	200

Определить средний стаж работников

Решение: Для расчетов построим расчетную таблицу 2.

Таблица 2

Среднедушевой доход, руб.	Число домохозяйств fi	Середина xi	xí = (xi – A)/k = = (xi – 900)/200	xí *fi
До 200	5	100	-4	-20
200-400	12	300	-3	-36
400-600	24	500	-2	-48
600-800	56	700	-1	-56
800-1000	80	900 (A)	0	0
1000-1200	15	1100	1	15
1200 и более	8	1300	2	16
Итого	200	-	-	-129

Средняя для преобразованных данных равна

С редняя для исходных данных равна