6). Бессрочная рента пренумерандо

Бессрочная рента пренумерандо отличается от бессрочной рента постнумерандо тем, что в момент времени происходит первая выплата. Поэтому её современная стоимость возрастает именно на размер этой выплаты!

а). Бессрочная простая рента пренумерандо

Современная стоимость бессрочной простой ренты пренумерандо по формуле (47) равна (т.к. рента – бессрочная!):

.

б). Бессрочная общая рента пренумерандо

Современная стоимость бессрочной общей ренты пренумерандо по формуле (49) равна (т.к. рента – бессрочная!):

Окончательно:

. (50)

Пример. Найти современную стоимость общей бессрочной ренты с выплатами 10000 рублей в начале каждого квартала и начислением процентов по полугодиям по ставке годовых.

Решение. Поскольку у нас , , , (т.к. проценты нужно выразить в виде десятичной дроби), то по формуле (50) получаем

2). Погашение займа одним платежом

Пусть заем выдан на лет под процентную ставку сложных годовых процентов. К концу -ого года наращенная величина основного долга по формуле (4) равна:

.

Это и есть размер платежа

, (51)

когда долг отдают одним платежом.

_________________________

Пример. Заем в 20000 рублей был выдан на 8 лет под годовых. Заём должен быть возвращён одним платежом. Каков его размер?

Решение. Поскольку у нас , (т.к. проценты нужно выразить в виде десятичной дроби), то по формуле (51) получаем величину платежа в конце срока (8 лет):

(руб.)

3). Погашение основного долга одним платежом в конце

Здесь: заем - основной долг, наращиваемый добавок – процентные деньги.

Пусть заем выдан на лет под процентную ставку сложных годовых процентов.

За первый год: наращенная сумма долга - , где - основной долг, - процентные деньги. Их-то заёмщик и плати в конце года

.

Тогда остаётся его долг - .

За второй год история повторяется: наращенная сумма долга - , где - основной долг, - процентные деньги. Их заёмщик плати в конце года

.

Тогда остаётся его долг - . И т.д.

Только в конце последнего года выплата заёмщика составит величину:

.

Замечание. В этой схеме заимодавец в невыгодном положении: дал в долг сумму , а получает по нему простые проценты!

4). Погашение основного долга равными годовыми выплатами

Пусть дан долг на лет под процентную ставку сложных годовых процентов.

По данной схеме в конце каждого года выплачивается часть основного долга и процентные деньги, проценты стой суммы долга, которая оставалась за заёмщиком.

Так в конце первого года заёмщик платит и проценты за год с суммы , т.е. . Таким образом, всего он выплатит (в конце первого года):

.

В конце второго года платится -ая часть основного долга и проценты с суммы , которая числилась за заёмщиком:

.

В конце третьего года размер его выплаты будет:

.

И т.д. В конце -го года размер его выплаты будет:

.

Итого, за всё время он заплатит величину:

, (52)

т.к. в сумме участвуют члены убывающей арифметической прогрессии с разностью .

_________________________

Пример. Пусть долг 5000 долларов выдан на 5 лет по ставке годовых. Найти выплаты за каждый год и за всё время (по схеме «погашение основного долга равными годовыми выплатами»).

Решение. Поскольку у нас , , (т.к. проценты нужно выразить в виде десятичной дроби), то выплата по предложенной схеме за первый год составит:

(долларов),

выплата по предложенной схеме за второй год составит:

(долларов),

выплата по предложенной схеме за третий год составит:

(долларов),

выплата по предложенной схеме за четвёртый год составит:

(долларов),

выплата по предложенной схеме за пятый год составит:

(долларов),

а вся выплаченная за эти годы сумма по формуле (52) составляет величину:

(долларов).

Т.е. получаются справедливые выплаты – чем меньше величина долга, которая остаётся за заёмщиком, тем меньше величина выплат!