2) Нахождение наращенной суммы для простой ренты постнумерандо
Пусть:
(для
всех
)
- ежегодные платежи, на которые начисляются
проценты в конце каждого года по сложной
процентной ставке
;
- наращенная сумма ренты постнумерандо;
- срок ренты.
При ренте постнумерандо (платежи ренты осуществляются в конце интервалов ренты) первый платёж пройдёт в конце первого года ренты, который даст в конце срока ренты наращенную сумму (лекция 3)
.
Второй платёж будет произведён в конце второго года ренты, а наращенная сумма этого платежа будет
.
И так далее, до -го платежа, период начисления которого равен нулю, поэтому
.
Объединение всех этих наращенных сумм и есть наращенная сумма ренты
.
Осталось найти сумму
.
Поскольку
,
(28)
в
чём можно убедиться простым перемножением
(убедитесь!), то
.
Поэтому наращенная сумма простой ренты постнумерандо равна
.
(29)
_________________________
Пример. Вкладчик в течение 5 лет (в конце каждого года) вносил в банк 1000 рублей. Проценты по вкладу начислялись по сложной процентной ставке годовых. Найти наращенную сумму (за пять лет).
Решение. Все условия для применения формулы (29) выполнены, поэтому
(рублей).
3) Нахождение наращенной суммы для простой ренты пренумерандо
Пусть:
(для всех ) - ежегодные платежи, на которые начисляются проценты в начале каждого года по сложной процентной ставке ;
- наращенная сумма ренты пренумерандо;
- срок ренты.
При ренте пренумерандо (платежи ренты осуществляются в начале интервалов ренты) первый платёж пройдёт в начале первого года ренты, который даст в конце срока ренты наращенную сумму (лекция 3)
.
Второй платёж будет произведён в начале второго года ренты, а наращенная сумма этого платежа будет
.
И так далее, до -го платежа, период начисления которого равен единице, поэтому
.
Объединение всех этих наращенных сумм и есть наращенная сумма ренты пренумерандо
.
Участвующую здесь сумму мы находили по формуле (28), поэтому наращенная сумма ренты пренумерандо
.
(30)
_________________________
Пример. Вкладчик в течение 5 лет (в начале каждого года) вносил в банк 1000 рублей. Проценты по вкладу начислялись по сложной процентной ставке годовых. Найти наращенную сумму (за пять лет).
Решение. Все условия для применения формулы (30) выполнены, поэтому
(рублей).
Лекция 9. Потоки платежей
1) Нахождение современной стоимости простой ренты
а) простая рента постнумерандо
Пусть:
(для всех ) - ежегодные платежи, на которые начисляются проценты в конце каждого года по сложной процентной ставке ;
- современная стоимость ренты постнумерандо;
- срок ренты.
Найдём современную стоимость простой ренты постнумерандо. Это, напомним, так называемая операция математического дисконтирования.
Первый
платёж пройдёт в конце первого года.
Тогда его современная стоимость
,
рассчитанная по действующей в банке
ставке
сложных процентов годовых (лекция 3, п.
2), имеет вид
при
.
Тогда
.
Второй
платёж пройдёт в конце второго года,
поэтому его
современная стоимость (отстоит от
момента начала ренты на два года) равна
.
Аналогично,
-ый
платёж, который пройдёт в конце
-го
года, даёт современную стоимость
,
равную
.
Поэтому современная стоимость всей ренты постнумерандо равна
.
Участвующую в равенстве сумму найдём по формуле (28). Тогда
.
Или запишем формулу для современной стоимости простой ренты постнумерандо в более красивом виде
.
(31)
_________________________
Пример. Вкладчик в течение 5 лет (в конце каждого года) вносил в банк 1000 рублей. Проценты по вкладу начислялись по сложной процентной ставке годовых. Найти современную стоимость получившейся ренты.
Решение. Все условия для применения формулы (31) выполнены, поэтому
(рублей).