5.3.3. Законы математической статистики, используемые при обработке результатов измерений
Могут быть разные законы распределения результатов измерений и случайных погрешностей. Особое место занимает нормальный закон распределения, который является предельным. Если присутствует много независимых случайных факторов, (не имеющих превалирующего значения) подчиненных разным законам, то их суммарная погрешность будет иметь нормальный закон распределения.
Кроме нормального закона распределения могут встретиться и другие:
- закон равной вероятности (движение секундной стрелки часов и отсчет времени, погрешность дискретности в цифровых приборах);
- закон существенно положительных величин (закон Максвелла для погрешностей эксцентриситета и формы поверхности);
- закон треугольника (Симпсона) и другие.
Функция распределения непрерывной величины определяется функцией Лапласа (табл. 5.1).
Значение интеграла вероятностей определяется в зависимости от нормированного отклонения – t:
|
Плотность распределения случайной величины представлена на рис. 5.3.
Центр симметрии имеет погрешность, равную 0. Чем больше абсолютное значение погрешности, тем реже она встречается, малые погрешности имеют большую вероятность, положительные и отрицательные погрешности равновероятны.
Аксиомы теории вероятности
- аксиома случайностей - число положительных событий равно числу отрицательных событий, то есть площади под кривой справа и слева от оси ординат равны 0,5.
- аксиома распределения - малые по модулю значения случайных событий встречаются чаще, чем большие. Т.е. кривая имеет колоколообразную форму и асимптотически приближается к оси абсцисс.
Рис. 5.3. Кривая распределения по нормальному закону
Числовые характеристики случайных событий
Центр группирования оценивается следующими значениями:
Математическое
ожидание
- среднее значение случайной величины,
т.е. среднее арифметическое значение
(1)
Мода
случайной
величины
- значение
случайной величины, в которой плотность
вероятности имеет наибольшее значение.
Для
нормального закона медиана
- центр симметрии случайных величин.
,
Мерой рассеивания случайных величин выступают дисперсия
и
среднее
квадратичное отклонение (СКО)
случайной величины
.
Расчет зависит от числа рассмотренных событий.
При n > 20 – нормальный закон
,
(2)
При n < 20 – закон Стъюдента
(3)
Форма
кривой нормального закона зависит от
СКО (σ), то есть чем меньше σ, тем круче
будет кривая, а разброс сокращается.
Поэтому при выполнении равноточных,
прямых многократных измерений необходимо
по полученному ряду измерений рассчитать
среднее арифметическое значение, и его
погрешность, которая меньше погрешности
отдельного измерения в
раз.
-
(СКО для
)
(4)
Т а б л и ц а 5.6
Значение интеграла вероятностей (функция Лапласа) при заданном значении нормированного отклонения t
t |
P(t) |
t |
P(t) |
t |
P(t) |
t |
P(t) |
0,05 |
0,0399 |
0,95 |
0,6579 |
1,85 |
0,9357 |
2,75 |
0,9940 |
0,10 |
0,0797 |
1,00 |
0,6827 |
1,90 |
0,9426 |
2,80 |
0,9949 |
0,15 |
0,1192 |
1,05 |
0,7063 |
1,95 |
0,9488 |
2,85 |
0,9956 |
0,20 |
0,1585 |
1,10 |
0,7287 |
2,00 |
0,9545 |
2,90 |
0,9963 |
0,25 |
0,1974 |
1,15 |
0,7499 |
2,05 |
0,9596 |
2,95 |
0,9968 |
0,30 |
0,2358 |
1,20 |
0,7699 |
2,10 |
0,9643 |
3,0 |
0,99730 |
0,35 |
0,2737 |
1,25 |
0,7887 |
2,15 |
0,9684 |
3,1 |
0,99806 |
0,40 |
0,3108 |
1,30 |
0,8064 |
2,20 |
0,9722 |
3,2 |
0,99862 |
0,45 |
0,3473 |
1,35 |
0,8230 |
2,25 |
0,9756 |
3,3 |
0,99904 |
0,50 |
0,3829 |
1,40 |
0,8385 |
2,30 |
0,9786 |
3,4 |
0,99932 |
0,55 |
0,4177 |
1,45 |
0,8529 |
2,35 |
0,9812 |
3,5 |
0,99934 |
0,60 |
0,4515 |
1,50 |
0,8664 |
2,40 |
0,9836 |
3,6 |
0,99968 |
0,65 |
0,4843 |
1,55 |
0,8789 |
2,45 |
0,9857 |
3,7 |
0,99978 |
0,70 |
0,5161 |
1,60 |
0,8904 |
2,50 |
0,9876 |
3,8 |
0,99986 |
0,75 |
0,5467 |
1,65 |
0,9011 |
2,55 |
0,9892 |
3,9 |
0,99990 |
0,80 |
0,5763 |
1,70 |
0,9109 |
2,60 |
0,9907 |
4,0 |
0,999936 |
0,85 |
0,6047 |
1,75 |
0,9199 |
2,65 |
0,9920 |
4,5 |
0,999994 |
0,90 |
0,6319 |
1,80 |
0,9281 |
2,70 |
0,9931 |
5,0 |
0,9999994 |
По заданной вероятности определить доверительный интервал для среднего арифметического значения
(5)
Коэффициент
Стъюдента –
определить по таблице 5.7 в зависимости
n
и
.
Для нормального закона нормированное отклонение – t определить по таблице 5.6 в зависимости от Р.
Ответ
должен быть представлен в следующем
виде:
при P(t),
и ε
должны иметь значащие цифры одного
порядка, т. е. после расчетов
необходимо округлить по правилам
округлений.
Т а б л и ц а 5.7