50. Оценка качества модели регрессии. Коэффициент детерминации. Оценка значимости коэффициентов регрессии. Теорема Гаусса-Маркова.

Интерпретация коэффициентов

b показывает на сколько едицин изменится н при изменении x на единицу

b>0 – связь x и y прямая

b<0 – связь x и y обратная

а экономической интерпритации не имеет и показывает y при х=0

Проверка значимости уровня регрессии производится на основе дисперсионного анализа. Центральное место в анализе дисперсии занимает разложение общей суммы квадратов отклонений переменной y от среднего значения y на 2 части – «объясненную» им «необъясненную», то есть общая сумма квадратов отклонений равна объясненная сумма квадратов отклонений + остаточная сумма квадратов отклонений.

общая сумма

- объясненная сумма

- остаточная сумма квадратов отклонений

На основе каждой из сумм квадратов отклонений рассчитываются соответствующие дисперсии.

m - кол-во факторов регрессии, в линейной m=1

Качество построенной модели регрессии, то есть способность модели давать расчетные значения результирующей переменной y максимально приближено к экспериментальной оценивается по тому, какую долю составляет объясненная дисперсия в общей дисперсии.

Для оценки этой доли вводится коэф детерминации.

Чем ближе к 1, тем лучше приближение, которое дает модель регрессии.

Оценка значимости уравнения регрессии в целом дается с помощью F-критерия Фишера.

При этом выдвигается нулевая гипотеза, что коэф регрессии =0, следовательно фактор х не оказывает влияние на результат у.

- уравнение регрессии в целом НЕ значимо

- уравнение регрессии в целом значимо

Рассчитываем F_расч

Английским статистиком Снедекором разработаны таблицы критических значений F-отношений. Из этих таблиц получаем F_табл.(α,m,n-m-1) Если F_расч> F_табл то H₁

При анализе модели регрессии надо проверять не только значимость построенной модели, но значимость отдельных коэф регрессии с помощью критерия Стьюдента t_табл.(α,n-m-1)

Выдвигаем гипотезу

Рассчитываем

Где m_a, m_b – стандартные ошибки определения регрессии.

По таблицам определяем

Если принимаем гипотезу H₁

Если принимаем гипотезу H₀

Аналогично для b. Если коэффициент не значим, то его убирают из уравнения.

Теорема Гаусса-Маркова

Условия Гаусса-Маркова для парной регрессии.

1. , т.е. случайная компонента может быть положительной, отрицательной, но она не может иметь систематические смещения (мат. ожидания) ни в одном из этих направлений;

2. , 1-е равенство означает постоянство дисперсии разных случайных компонент, т.е. независимость от номера наблюдения. 2-е равенство предполагает отсутствие систематической связи между значениями случайной составляющей в двух наблюдениях, т.е. наблюдения должны быть независимы друг от друга;

3. . т.е остатки должны подчиняться нормальному закону распределения

Теорема: если условия Гаусса-Маркова выполняются, то оценки, полученные с помощью МНК будут наилучшими линейными оценками, то есть не смещенными, состоятельными и эффективными.

Спецификация (выбор модели регрессии)

1. графический (для множественной строим m графиков)

2. теоретический (учет экономической сущности величин)

3. Эмпирический (будет несколько видов 1лин и неск нелин моделей. Строим, анализируем их и по результатам выбираем)