Сравнение силы роста простых и сложных процентов
При одной и той же ставке i наращение сложных процентов идет быстрее, чем простых процентов, при длине периода наращения более единичного и медленнее, если период наращения менее единичного. Для этого достаточно убедиться, что
(1+i)t > (1+ti), если t>1 и
(1+i)t < (1+ti), если 0<t<1
Мультиплицирующие и дисконтирующие множители
Мультиплицирующий множитель показывает, во сколько раз возрастает за n лет сумма, положенная в банк под i процентов годовых:
M(n,i)=(1+i)n
Величина M(n,i) есть будущая стоимость одной денежной единицы- через n лет при ставке процента i.
Дисконтирующий множитель показывает долю, которую составит начальная сумма, положенная в банк под i процентов годовых, от наращенной к концу n-го года:
D(n,i)=1/M(n,i)=(1+i)-n
Величину D(n,i) называют еще приведенной или современной стоимостью одной денежной единицы через n лет при ставке процента i.
40 Эквивалентность во времени денежных сумм. Математическое дисконтирование. Номинальная и эффективная процентные ставки. Эквивалентность процентных ставок
Для процедур наращения и дисконтирования могут применяться различные виды процентных ставок. Эквивалентность процентных ставок означает, что при замене одной процентной ставки на другую при соответствующих условиях значение финансового результата не изменится.
!Два контракта называются эквивалентными, если современная стоимость этих контрактов одинакова.
Рассмотрим проблему эквивалентности номинальной и эффективной процентных ставок.
Если период начисления процентов отличается от периодов, к которым приурочена процентная ставка, то реальная ставка будет отличаться от номинальной.
Номинальная ставка указывается в договоре, реальная ставка – это эффективная ставка.
Эффективная процентная ставка – реальная годовая ставка, которая при начислении процентов один раз в год даёт тот же результат, что и начисление процентов m-раз в год по номинальной ставке i.
Напомним, что эффективная процентная ставка – реальная годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и m–разовое начисление процентов по ставке j/m.
Обозначим эффективную ставку через i. По определению множители наращения по двум видам ставок (эффективной и номинальной при m-разовом начислении) должны быть равны друг другу. Эффективная ставка используется для сравнения схем начисления
,
(5.1)
откуда
(5.2)
или
. (5.3)
В общем случае для нахождения эквивалентной ставки необходимо приравнять соответствующие множители наращения и из этого равенства определить нужную ставку.
Эффективная ставка может использоваться в промежуточных расчётах задач замены контрактов или договоров.
!!! Две процентные ставки называются эквивалентными, если будучи применённые к одним и тем же суммам за одно и то же время они дают одинаковый результат.
Эквивалентность во времени денежных сумм. Математическое дисконтирование.
Наращение (или прямая задача) – определение будущей стоимости.
Дисконтирование – определение текущей (современной) стоимости, если известна будущая стоимость.
Денежные суммы S(T) в момент T и s(t) в момент t называются эквивалентными по ставке сравнения i, если S(T)=s(t)(1+i)(T-t). При T>t это означает, что сумма s(t), наращенная по ставке i сложных процентов, превратится в момент T в сумму S(T); однако можно считать, что T может быть и меньше t, тогда это означает, что сумма S(T), наращенная по ставке i сложных процентов, превратится в момент t в сумму s(t). Вместе с тем можно сказать и по-другому: при T>t эквивалентность сумм S(T) и s(t) означает, что сумма S(T), уменьшающаяся при движении в прошлое за каждый единичный промежуток в 1/(1+i) раз, к моменту t превратится в точности в сумму S(T)=S(T)/[ (1+i)(T-t)]. Такой пересчет будущей суммы к настоящему моменту называется приведением ее или нахождением ее современной величины. Сама же формула сравнения денежных сумм в любые моменты времени наз. математическим дисконтированием.