44.Производственные функции. Функция Кобба-Дугласа. Линейные производственные функции.

Производственная функция - экономико-математическая количественная зависимость между величинами выпуска (количество продукции) и факторами производства, (затраты ресурсов, уровень технологий и др.) может выражаться как множество изоквант. Изоклиналями называются линии наибольшего роста ПФ. Изоклинали ортогональны линиям нулевого роста, то есть изоквантам.

В зависимости от анализа влияния факторов производства на объём выпуска в определённый момент времени или в разные промежутки времени производственные функции делятся на статические: P = f(x₁,x₂,...,x_n) и динамические: P = f(x₁(t),...,x_k(t),...,x_n).

Производственная функция X=F(K,L) называется неклассической, если она является гладкой и она удовлетворяет следующим условиям:

1. F(0,L)=F(K,0)=0 - при отсутствии одного из ресурсов невозможно

2. - с ростом ресурсов выпуск растет

3. - с увеличением ресурсов скорость роста выпуска замседляется

4. - при неограниченном увеличении одного из ресурсов выпуск неограниченно растет.

Мультипликативная ПФ задается выражением

Где А – коэф нейтрального технического прогресса; - коэф эластичности по труду и фондам.

Таким образом, ПФ обладает свойством 1. Частным случаем этой функции служит функция Кобба-Дугласа

Производственная функция Кобба-Дугласа — зависимость объема производства X, от создающих его труда L и капитала K.

Если сумма показателей степени равна единице, то функция Кобба-Дугласа является линейно однородной, то есть она демонстрирует постоянную отдачу при изменении масштабов производства. Если сумма показателей степени больше единицы, функция отражает возрастающую отдачу, а если она меньше единицы, - убывающую. Изокванта, соответствующая функции Кобба-Дугласа, будет выпуклой и "гладкой".

Впервые производственная функция была рассчитана в 1920-е годы для обрабатывающей промышленности США, в виде равенства

Мультипликативная ПФ определяется по временному ряду выпусков и затрат ресурсов (X_t,K_t,L_t), t=1,…,T, где Т-длина временного ряда, при этом предполагается, что имеет место Т соотношений

,

Где - корректировочный случайный коэф, который приводит в соответствие фактический и расчетный выпуск и отражает изменение результата под воздействием других факторов.

Поскольку в логарифмах эта функция линейна

Получаем модель линейной множественной регрессии. Параметры функции могут быть определены по МНК с помощью стандартных пакетов прикладных программ, содержащих метод множественной регрессии.

Мультипликативная функция обладает также свойством 2, адекватным реальной экономике: с ростом затрат ресурсов выпуск увеличивается, то есть:

Частные производные выпуска по факторам называются предельными продуктами или предельными (маржинальными) эффективностями факторов и представляют собой прирост выпуска на малую единицу прироста фактора.

- предельный прирост фондов, предельная фондоотдача (предельная эффективность фондов)

- предельный продукт труда, предельная производительность труда (предельная эффективность труда).

Мультипликативная функция обладает свойством 3, которое очень часто наблюдается в реальной экономике: с ростом затрат ресурса его предельная отдача падает, то есть

Также видно, что мультипликативная функция обладает свойством 4, то есть при неограниченном увеличении одного из ресурсов выпуск неограниченно растет. Таким образом, мультипликативная функция при является неоклассической.