3. Методы анализа сложных цепей при гармоническом воздействии
С ростом сложности структуры цепи, числа ее ветвей, узлов, количества источников энергии а также пассивных элементов составлять системы уравнений по первому и второму законам Кирхгофа даже для гармонического воздействия становится очень громоздко. Поэтому были разработаны специальные формализованные методы анализа таких цепей, которые, базируясь на законах Кирхгофа, позволяют быстро составить систему уравнений относительно вспомогательных величин – контурных токов – по методу контурных токов (МКТ), либо узловых напряжений – по методу узловых напряжений (МУН). После нахождения этих величин уже не составляет труда отыскать токи ветвей или напряжения на всех элементах.
Метод контурных токов
Пусть дана схема (рис.3.1а).
1.
Вначале выбираем независимые контуры
в данной схеме и каждому из них
сопоставляем: порядковый номер,
направление обхода (по или против часовой
стрелки) и свой контурный
ток,
циркулирующий
в данном
контуре. Таким контурам у нас соответствуют
контурные токи
,
и
.
Всего, как мы знаем из формулы (1.13), можно
выбрать
независимых контуров, где
- число всех ветвей,
- число всех узлов,
- число ветвей, содержащих только
независимые источники тока.
Число уравнений
по методу контурных токов совпадает с
числом независимых контуров:
.
Для нашего случая
.
2.
Если
,
то рассматриваем дополнительные
контуры, каждый
из которых соответствует ветви с
вырожденным источником тока и
характеризуется своим дополнительным
контурным током, равным току соответствующего
источника тока.
Дополнительные контуры для удобства дальнейших операций нумеруются в последнюю очередь.
У нас дополнительный
контур один. Его ток равен:
(принято выбирать направление обхода
тока дополнительного контура так, чтобы
этот ток проходил по ветви источника в
том же направлении, что и ток самого
источника).
3.
Для каждого независимого контура с
номером
находится собственное
сопротивление
,
рассчитываемое как сумма комплексных
сопротивлений всех элементов, входящих
в этот контур.
То есть:
,
,
.
Находятся взаимные
сопротивления
между
и
контурами (включая дополнительные) по
следующему правилу: суммируются
комплексные сопротивления всех элементов,
которые входят в общие для данных двух
контуров ветви; если направления обходов
рассматриваемых контуров по общим
ветвям не
совпадают,
то перед указанной суммой ставят минус.
То есть:
,
(нет общих ветвей),
(в общей ветви есть только идеальный
источник ЭДС, с нулевым внутренним
сопротивлением),
,
.
4.
Определяем суммарную
ЭДС
в каждом
независимом контуре как сумму всех
источников ЭДС, входящих в данный контур;
если направление некоторого источника
ЭДС совпадает с направлением обхода
контура, то он в сумме берется с плюсом,
иначе – с минусом.
Для нашего случая
имеем:
,
,
.
5. Составляем систему уравнений относительно неизвестных контурных токов (число неизвестных и число уравнений совпадает с общим числом всех независимых контуров):
(3.1)
Так как контурный
ток
известен, то окончательно получим:
(3.2)
Далее система
(3.2) решается относительно неизвестных
.
6. Выражаем токи во всех ветвях через найденные контурные токи. Ток в некоторой ветви есть сумма всех тех контурных токов, которые проходят по этой ветви; если направление обхода ветви одним из указанных контурных токов совпадает с направлением тока этой ветви, то этот контурный ток берется с плюсом, иначе – с минусом.
,
,
,
,
,
.
(3.3)
Для закрепления материала предлагается решить задачу.
Дана схема на рис.3.2.
Определить токи во всех ветвях методом контурных токов.
Вначале попробуйте решить ее сами, а затем сверьте с решением, которое приводится ниже.
Определим число
уравнений по МКТ.
.
Вводим независимые
(
)
и дополнительные (
)
контурные токи, соответствующие трем
независимым, и трем дополнительным
контурам. Обратим внимание, что
дополнительные контурные токи занумерованы
последними.
Искомая система уравнений тогда примет вид:
(3.4)
где
,
,
;
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
,
,
.
После решения системы (3.4) относительно контурных токов необходимо выразить через них токи ветвей:
,
,
,
,
,
,
,
.