Характерные примеры применения метода комплексных амплитуд

Покажем применение метода комплексных амплитуд на примере анализа работы трехфазной системы “звезда” (см. рис.2.3), рассмотренной кратко в предыдущем методическом пособии “Электротехника и практика”.

На рис.2.4а показана векторная диаграмма электродвижущих сил источника трехфазной системы – трехфазного генератора, а на рис.2.4.б – диаграмма напряжений, которые наводятся в каждой из фазных обмоток генератора. Из этой диаграммы видно, что амплитуды всех фазных ЭДС одинаковы, но ЭДС сдвинуты друг относительно друга на (для простоты записи здесь и ниже точки в обозначениях комплексных амплитуд опускаются).

Токи , , , текущие в линейных проводах, связывающих каждую обмотку генератора с соответствующей нагрузкой, называются линейными. Напряжения , и между линейными проводами также называются линейными. Напряжения , и , падающие на нагрузках трех потребителей, называются фазными.

Применяя второй закон Кирхгофа к контурам, соответствующим трем фазам, получим:

, , , (2.19)

где учтено, что , , .

Линейные и фазные напряжения связаны между собой следующим образом:

, , . (2.20)

Если представить равенства (2.20) на комплексной плоскости, то придем к векторной диаграмме, показанной на рис.2.4б. Из геометрических соображений видно, что , т.е. линейные напряжения имеют одинаковые значения. Кроме того, из прямоугольного треугольника, показанного на диаграмме, можно найти:

.

Режим работы трехфазной цепи, когда сопротивления всех трех фаз одинаковы, т.е. , называется режимом симметричной нагрузки. В этом режиме все линейные (и фазные) токи равны по модулю.

Действительно, по закону Ома запишем:

, , . (2.21)

В силу равенств (2.19) получим .

Обратим внимание, что схема “звезда” содержит нулевой провод . Каково его назначение?

Покажем, что в случае симметричной нагрузки нулевой провод не нужен. Действительно, при этом в силу равенств (2.19) и (2.21) найдем, что комплексные амплитуды токов сдвинуты друг относительно друга на , следовательно, имея одинаковые значения, в сумме дадут нуль: . Но по первому закону Кирхгофа для цепи на рис.2.3 справедливо равенство: . Из которого сразу следует, что .

Если нагрузки несимметричные: , то токи уже не будут компенсировать друг друга: . В этом случае нулевой провод необходим.

Действительно, представим себе, что нулевой провод оборвался, т.е. . При этом токи должны измениться так, чтобы их векторная сумма равнялась нулю (в силу первого закона Кирхгофа): .

Но при заданных сопротивлениях нагрузки токи могут измениться только за счет изменения фазных напряжений. Следовательно, обрыв нулевого провода в общем случае приводит к изменению фазных напряжений, что недопустимо, так как приводит к нарушению нормальной работы потребителей, настроенных на определенное рабочее напряжение.

Теперь вспомним понятие потери напряжения, которое было введено в методическом руководстве “Электротехника”, часть 3, и подробно рассмотрено для цепи постоянного тока. Напомним, что эта потеря возникает из-за падения напряжения на проводах линий электропередач.

Проведем аналогичное рассмотрение для цепей переменного тока – однофазной и трехфазной. Для этого, естественно, мы воспользуемся методом комплексных амплитуд, изображая графически соответствующие вектора – изображения на комплексной плоскости комплексных амплитуд рассматриваемых напряжений.

Задача. По допустимой потере напряжения в однофазной и трехфазной цепях переменного тока определить соответствующие сечения проводов.

А1. Режим однофазного гармонического тока. Поскольку в режиме переменного тока нагрузка потребителя может быть комплексной (кроме омической составляющей включать индуктивную или емкостную составляющую сопротивления), то комплексные амплитуды напряжения и тока сдвинуты друг относительно друга на некоторый угол , причем по закону Кирхгофа получим (см. рис.2.5а):

, (2.22)

где - полное комплексное сопротивление проводов линии. На рис.2.6а показана векторная диаграмма напряжений для случая произвольной нагрузки линии (на рисунке для определенности эквивалентная реактивная составляющая нагрузки считается индуктивной, т.е. емкостная составляющая сопротивления меньше индуктивной составляющей).

Нас интересует разность модулей комплексных чисел и :

. (2.23)

На практике реактивной составляющей сопротивления проводов линии пренебрегают относительно активной. Тогда . Диаграмма напряжений для этого случая показана на рис.2.6б. Из нее видно, что при условии угол между векторами и мал и поэтому (точки и практически совпадают).

Теперь по допустимой потере напряжения для однофазной линии найдем соответствующее сечение провода.

Так как , то

, (2.24)

где - действующее значение тока в однофазной линии. Так как активное сопротивление проводов равно , то из (2.24) получим:

, (2.25)

где - активная мощность потребителя (понятие активной мощности подробно рассмотрено в подразделе “Баланс энергии в цепи гармонического тока” настоящего раздела); выражено в процентах по отношению к действующему значению напряжения источника ; - удельная электропроводность материала проводов.

А2. Теперь определим потерю напряжения для трехфазной цепи переменного тока с симметричной нагрузкой.

Пользуясь рисунком 2.5б и рассуждая так же, как и для цепи однофазного тока, получим выражение для потери фазного напряжения в одной из фаз:

, (2.26)

где - линейный ток, - сопротивление одного провода трехфазной линии.

В справочных таблицах обычно указывается потеря линейного напряжения , которая в раз больше потери фазного напряжения. Таким образом,

. (2.27)

Из этой формулы сразу получаем выражение для допустимой площади сечения провода :

, (2.28)

где выражено в процентах к номинальному значению напряжения потребителя, включенного в данную фазу; - активная мощность, потребляемая симметричной трехфазной нагрузкой.

Из формул (2.25) и (2.28) можно заключить, что в целях экономии материала проводов в цепях переменного тока, как и в цепях постоянного, следует увеличивать номинальное напряжение потребителя, а, следовательно, и номинальное напряжение источника.

Именно по этой причине наметилась тенденция вытеснения трехфазных сетей напряжением 220/127В и однофазных сетей напряжением 6кВ трехфазными сетями 380/220В и однофазными 10 кВ, соответственно.

Кроме того, уменьшению величины также способствует использование материалов с повышенной удельной электропроводностью .

Пример 1. Требуется рассчитать площадь сечения алюминиевых проводов однофазной линии напряжением , если длина линии и по ней передается активная мощность . Допустимая потеря напряжения составляет .

Используем формулу (2.25):

.

Пример 2. Определить площадь сечения алюминиевых проводов трехфазной линии напряжением , если длина линии . Линия питает асинхронный двигатель, потребляющий активную мощность . При этом допускается потеря напряжения .

Используем формулу (2.28):

.

Поставим теперь такой вопрос: как соотносятся между собой однофазные и трехфазные системы передачи энергии по расходу цветного металла?

Известно, что трехфазные системы в этом отношении более экономны. Теперь обоснуем это подробнее и строже.

Мы будем сравнивать такие однофазную (двухпроводную) и трехфазную линии (типа “треугольник”), которые имеют одинаковые: длину, напряжения источников питания, напряжения, мощности и коэффициенты мощности потребителей. Тогда, используя формулы (2.25) и (2.28), найдем, что площадь сечения каждого провода трехфазной линии в два раза меньше площади сечения провода двухпроводной линии:

(2.29)

Учтем, что масса провода пропорциональна его площади поперечного сечения и обозначим через массу одного провода трехфазной линии. Тогда масса одного провода двухпроводной линии равна в силу (2.29) . Масса трех проводов трехфазной линии равна , а двух проводов двухпроводной - . Следовательно, масса трехфазной линии составляет 75% от массы двухпроводной линии (при равенстве указанных параметров обеих линий), т.е. экономия металла составляет 25%.

В случае соединения трехфазной сети по схеме “звезда” для получения напряжения потребителя трехфазной сети равным номинальному напряжению потребителя сравниваемой однофазной сети линейное напряжение, выдаваемое трехфазным генератором, должно быть в раз больше, напряжения, выдаваемого источником двухпроводной линии (в такое же число раз будут отличаться выходные напряжения обеих линий и на приемном конце - ). Следовательно, для площади поперечного сечения одного провода трехфазной системы “звезда” получим:

. (2.30)

Выражение (2.30) показывает, что площадь проводов и масса проводов при соединении нагрузки звездой уменьшаются в три раза по сравнению с соединением треугольником и в шесть раз – по сравнению с двухпроводной линией.

Нетрудно показать, что экономия массы по отношению к двухпроводной линии составит 75%.

Вы уже знаете, что для обеспечения постоянства и симметрии напряжений на фазах звезды при несимметричной нагрузке используется нулевой провод. Площадь сечения нулевого провода берется в два раза меньше площади сечения линейного. Можно подсчитать, что при наличии этого провода экономия в массе составляет 71%.