8. Строим график (рис.4.8).

Из графика видно, что ко времени порядка ( ) осцилляции переходного процесса практически затухают.

Задача 3. Определить напряжение после коммутации в цепи, схема которой приведена на рис.4.9. Дано: , , , , .

1. Определим установившуюся составляющую тока . Для этого учтем, что источник ЭДС – гармонический, поэтому к схеме на рис.4.9б можно применить метод комплексных амплитуд. Уравнения для комплексных амплитуд токов и напряжений на всех элементах имеют вид:

Решая полученную систему относительно , найдем:

Переходя во временную область, получим:

.

2. Для определения характеристического уравнения исключим из исходной схемы источник напряжения, заменив его внутренним сопротивлением, и сделаем разрыв, например, в ветви с емкостью. Придем к схеме на рис.4.9в. Входное сопротивление относительно полюсов разрыва равно:

.

Приравнивая это выражение к нулю, получим характеристическое уравнение:

,

.

Решая это уравнение, найдем: , . Следовательно, свободная составляющая имеет такой общий вид:

.

3. Найдем систему уравнений относительно постоянных , используя выражение (4.21):

где , ,

,

.

3. Найдем ННУ: и (см. рис.4.9г).

До коммутации существовал режим гармонического тока, поэтому, применяя МКА, для комплексной амплитуды тока, текущего в контуре схемы до коммутации (рис.4.9г), получим:

.

Так как перед коммутацией емкость была отключена, то на ее пластинах заряд отсутствовал .

5. Найдем ЗНУ . Рассмотрим схему на рис.4.9а при замкнутом положении ключа в момент времени . По законам Кирхгофа можем записать:

Применяя законы коммутации , , и учитывая равенство , из найденной системы получим:

.

Дифференцируя выражение для и полагая , получим:

.

Так как ,

,

, то

.

6. Подставляем найденные ЗНУ в систему пункта 3 и решаем ее относительно постоянных интегрирования :

, .

6. Определяем искомую функцию напряжения на резисторе :

.

6. Строим график полученной функции (например, с помощью пакета Mathcad2001i) (рис.4.10).

Из графика видно, что переходный процесс заканчивается практически при ( ).

Рассмотрим теперь, каким образом данная задача могла быть решена численно. Для этого используем мощный пакет инженерных и технических расчетов MATLAB 6.5.

Чтобы воспользоваться возможностями этого пакета, найдем дифференциальное уравнение, описывающее поведение искомой функции после коммутации.

Для этого вновь обратимся к схеме на рис.4.9а и запишем систему уравнений по законам Кирхгофа для произвольного момента времени после коммутации:

(4.22)

Возьмем производные от первого и третьего равенств:

, (4.23)

, (4.24)

и подставим (4.24) и третье уравнение в (4.22) во второе уравнение из (4.22). Получим систему уравнений относительно и при условии, что , и известны:

(4.25)

Решая систему (4.25) относительно и , получим:

,

, (4.26)

где , , .

Для получения дифференциального уравнения относительно искомой функции продифференцируем выражение (4.23) и затем подставим в него полученное выражение для :

,

(4.27)

где , ,

, .

Умножая равенство (4.27) на , окончательно получим:

(4.28)

где , , ,

.

Сравнивая коэффициенты , и в левой части (4.28) с соответствующими коэффициентами характеристического уравнения из пункта 2, видим их полное совпадение.

Для того чтобы воспользоваться одной из встроенных функций MATLAB 6.5 по решению обыкновенных дифференциальных уравнений, необходимо:

1) свести полученное нами уравнение второго порядка (4.28) к системе двух уравнений первого порядка вида:

(4.29)

где и - некоторые известные функции правых частей.

Положим , , тогда от (28) перейдем к такой системе:

(4.30)

2) задать начальные условия искомой функции и интервал, на котором ищется решение.

Так как уравнение (4.28) – второго порядка, то начальными условиями будут: и . Эти НУ являются зависимыми и были рассчитаны нами ранее в пункте 5 рассматриваемой задачи.

Теперь для вызова, например, специальной функции ode45, зададим первым входным аргументом ссылку на функцию правой части , вторым входным аргументом – интервал, на котором ищется решение - , а третьим – вектор-столбец начальных условий , которое состоит из значений искомой функции и ее первой производной в начальный момент времени. В качестве выходных аргументов встроенной функции ode45 используем - вектор, содержащий значения времени, - матрица значений искомой функции и ее первой производной в соответствующие моменты времени. Значения функции расположены по столбцам матрицы – в первом столбце – значения искомой функции, во втором – ее производной. Как правило, размеры вектора и матрицы достаточно велики, поэтому мы сразу отобразили результат на графике с помощью графической функции , входными аргументами которой являются вектор , первый столбец второго выходного аргумента солвера ode45 - и тип линии.

Примечание. Для ознакомления с пакетом МАТLAB смотрите, например, пособие коллектива питерских авторов

Ануфриев И.Е., Смирнов А.Б., Смирнова Е.Н. “МATLAB 7” – СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 1104с.

Выше мы рассмотрели метод анализа переходных процессов при простых типах входных воздействий (например, типа “скачек”). В Приложении рассмотрен метод анализа переходных процессов в линейных электрических цепях методом интеграла Дюамеля.

В качестве простого примера, показывающего важность умения рассчитывать переходный процесс, рассмотрим типовую схему микропроцессора (например, К1821ВМ85А).

Вход является входом асинхронного сброса, приводящим МП в исходное состояние. Сброс может быть осуществлен замыканием ключа К и автоматически происходит при включении питания . В этом случае благодаря RC цепочке на входе напряжение нарастает постепенно (при достаточно большой постоянной времени переходного процесса ), и в течение некоторого времени после включения питания остается ниже порогового, что равноценно подаче сигнала (рис.4.13, 4.14).