4.2. Законы коммутации.

Невозможность мгновенного изменения энергии является одним из основных физических принципов, который вытекает из закона сохранения энергии. Следствием этого являются законы коммутации.

Первый закон коммутации. Ток в ветви с индуктивностью не может измениться мгновенно (скачком) и в момент коммутации начинает изменяться во времени с того значения, которое он имел непосредственно перед коммутацией:

. (4.1)

Второй закон коммутации. Напряжение на полюсах емкостного элемента не может измениться скачком и в момент коммутации начинает изменяться во времени с того значения, которое оно имело непосредственно перед коммутацией, т.е.:

. (4.2)

Заметим, что законы коммутации не накладывают ограничений на характер изменения токов емкостей , напряжений на индуктивностях или токов и напряжений на сопротивлениях , которые в момент коммутации могут меняться произвольным образом, в том числе и скачкообразно.

4.3. Классический метод расчета переходных процессов

Классическим называется метод расчета переходных процессов, основанный на непосредственном решении системы линейных неоднородных интегро-дифференциальных уравнений, составленных по законам Кирхгофа для схемы после коммутации.

Эта система исходных расчетных уравнений может быть сведена к одному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами:

, (4.3)

где - искомая функция мгновенного значения тока или напряжения в цепи после коммутации; - постоянные коэффициенты, зависящие только от параметров пассивных элементов схемы после коммутации и коэффициентов управления зависимых источников энергии; - порядок цепи, который определяется числом эквивалентных реактивных элементов.

Например, цепи, схемы которых приведены на рис.4.1а, б имеют один и тот же порядок, равный трём, поскольку схему на рис.4.1а более упростить нельзя, а схему на рис.4.1б можно упростить, преобразовав параллельно соединенные индуктивности и к одной эквивалентной индуктивности .

Решение (4.3) имеет вид:

, (4.4)

где составляющая определяет установившийся режим работы, т.е. режим, задаваемый в цепи после коммутации независимыми источниками энергии. Поэтому введем обозначение:

. (4.5)

Составляющая характеризует свободные (переходные) процессы, т.е. процессы в цепи после коммутации в отсутствие внешних независимых источников. Поэтому для этой составляющей вводим обозначение:

. (4.6)

Характер свободных процессов не зависит от внешнего воздействия на цепь, а определяется только параметрами пассивных элементов и управляемых источников а также топологией послекоммутационной схемы замещения. Свободные процессы протекают за счет разности энергий, соответствующих установившимся режимам работы цепей после коммутации. Так как разность этих энергий имеет конечное значение, то свободные процессы с течением времени затухают.

Для определения свободной составляющей необходимо найти корней характеристического уравнения:

. (4.7)

Установившееся значение искомой функции определяется обычным расчетом схемы замещения цепи после коммутации в новом установившемся режиме.

Если в цепи после коммутации токи всех независимых источников тока и ЭДС всех независимых источников напряжения постоянны, то с течением времени в цепи после коммутации установится режим постоянного тока, и установившаяся составляющая искомой функции находится методами расчета цепи постоянного тока.

Если после коммутации цепь находится под гармоническим воздействием, то установившаяся составляющая искомой функции также будет изменяться по гармоническому закону и для ее нахождения можно использовать метод комплексных амплитуд.

Если после коммутации цепь находится под воздействием нескольких независимых источников гармонических колебаний разной частоты, то следует рассчитать составляющие для каждого источника в отдельности, а затем использовать метод наложения во временной области.

Рассмотрим более подробно вопрос получения характеристического уравнения.

Первый способ. Сведение системы однородных интегро-дифференциальных уравнений к одному уравнению - го порядка с одним неизвестным.

Рассмотрим пример. Дана схема на рис.4.2а. Исходному установившемуся режиму работы цепи соответствует разомкнутое положение ключа . В некоторый момент времени происходит замыкание ключа и схема приобретает другую топологию (рис.4.2б).

Для получения указанной системы однородных дифференциальных уравнений исключим из схемы на рис.4.2б источник энергии, заменив этот источник его внутренним сопротивлением. Внутреннее сопротивление идеального источника напряжения есть нуль, поэтому получим перемычку (рис.4.2в). В полученной схеме может существовать только свободный режим.

По законам Кирхгофа получим:

Далее сводим систему (4.8) к одному уравнению, содержащему одно неизвестное - например, ток :

. (4.9)

Следовательно, характеристическое уравнение имеет вид:

. (4.10)

Заметим, что если систему (4.8) решить относительно или , придем вновь к уравнению (4.10).

Второй способ. Использование условия , где - операторное входное сопротивление схемы для определения свободной составляющей относительно полюсов разрыва в ветви, содержащей реактивный элемент.

Рассмотрим применение этого способа к схеме на рис.4.2в. Сделаем разрыв в ветви, содержащей индуктивность. Получим схему на рис.4.3. Далее необходимо формально применить метод эквивалентных преобразований и найти эквивалентное сопротивление схемы на рис.4.3 относительно точек разрыва. Это и будет искомое входное сопротивление . Далее делается замена и составляется характеристическое уравнение.

. , ,

,

. (4.11)

Полученное уравнение (4.11) ничем не отличается от (4.10).

Сравнивая первый и второй способы, отметим, что первый способ отличается достаточной громоздкостью, поэтому используется редко. Чаще всего, если в цепи нет зависимых источников, используют второй способ получения характеристического уравнения.

Рассмотрим теперь методику определения вида свободной составляющей по корням характеристического уравнения. Для уравнения второй степени

возможны следующие варианты:

а) корни вещественные и различные: , , , (4.12)

где , - пока не определенные постоянные интегрирования;

б) корни комплексно-сопряженные: , , ,

; (4.13)

в) корни кратные: , ,

. (4.14)

Заметим, что условия для случаев а) и б), и - для случая в), следуют из физического смысла свободной составляющей: с течением времени она должна затухать.

Величина называется коэффициентом затухания, а - частотой свободных колебаний переходного процесса.

Замечание. Если характеристическое уравнение имеет порядок больше второго, то все его корни можно разбить по группам, соответствующим случаям а), б) и в).

Рассмотрим методику определения постоянных интегрирования.

Для определенности положим, что мы имеем уравнение - степени, все корни которого вещественны и различны. Тогда в силу (4) получим:

, (4.15)

где , , … - неопределенные постоянные интегрирования.

Для определения этих постоянных необходимо задать начальные условия, т.е. для значения искомой функции и ее первых производных в момент времени сразу после коммутации, т.е. при :

, , … , (4.16)

Продифференцируем (4.15) раз и положим во всех полученных равенствах а также в равенстве (4.15) . Получим систему уравнений относительно постоянных интегрирования:

Замечание. Из (4.17) следует, что для нахождения постоянных интегрирования , , … кроме начальных условий еще необходимо найти установившуюся составляющую .

Если цепь - первого порядка, то есть содержит один реактивный элемент, то имеется только одна постоянная интегрирования:

(4.18)

Если для цепи второго порядка корни характеристического уравнения действительны и различны, то имеем систему для определения постоянных интегрирования и :

(4.19)

Если для цепи второго порядка корни кратные, т.е. , то, как следует из (4.4) и (4.14),

Следовательно,

(4.20)

Если же корни комплексно-сопряженные, то из (4.4) и (4.13) получим:

следовательно,

(4.21)

Теперь рассмотрим более подробно начальные условия.

Различают две категории начальных условий – зависимые (ЗНУ) и независимые (ННУ).

Начальные условия, соответствующие току на некоторой индуктивности или напряжению на некоторой емкости называют независимыми.

Все остальные начальные условия – относят к зависимым.

Определение ННУ – единственный этап расчета переходного процесса, когда используется докоммутационная схема. На всех остальных этапах рассматривается схема после коммутации.

ЗНУ являются значения в момент коммутации тех токов и напряжений, которые не подчиняются законам коммутации, а также значения производных любого порядка всех токов и напряжений при .

Отметим, что зависимые начальные условия рассчитываются всегда после нахождения независимых начальных условий.

Рассмотрим примеры расчета переходных процессов классическим методом.

Задача 1. Рассчитать ток после коммутации в цепи, схема которой приведена на рис.4.4а. Построить график этого тока. Дано: , , , .

1. Определим установившуюся составляющую искомого тока, рассчитывая цепь после коммутации (рис.4.4б) в новом установившемся режиме постоянного тока. Так как индуктивность в режиме постоянного тока эквивалентна перемычке, ( при ), то найдем:

, .

2. Составляем характеристическое уравнение по второму способу (рис.4.4в) и определяем общий вид свободной составляющей.

.

Следовательно, характеристическое уравнение имеет вид:

, откуда найдем

- единственный корень уравнения.

Тогда свободная составляющая искомого тока равна:

где - постоянная времени переходного процесса, т.е. интервал времени, по истечении которого свободная составляющая искомой функции уменьшается в раз, - пока не определенная постоянная интегрирования.

3. Запишем общее выражение для искомого тока после коммутации и выражение для определения постоянной интегрирования:

.

4. Определим независимое начальное условие – значение тока индуктивности в момент сразу после коммутации. Для этого рассмотрим схему непосредственно перед коммутацией (рис.4.4г). В цепи до коммутации существовал режим постоянного тока, поэтому

. По первому закону коммутации получим:

.

5. Найдем зависимое начальное условие . Для этого составим систему дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа для схемы после коммутации (см. схему на рис.4.4а при замкнутом ключе) и положим далее :

Используя первое и третье уравнения полученной системы, найдем: .

6. Определяем постоянную интегрирования .

.

7. Записываем окончательный вид искомой функции:

.

8. Строим график функции . Для построения графика задаются значениями, кратными (рис.4.5).

Из графика видно, что по истечении времени порядка переходный процесс практически завершается.

Задача 2. Дана схема на рис.4.6а. Определить ток в цепи после коммутации, если известно , , , , , , .

1. Определяем установившуюся составляющую тока - . Для этого рассматриваем установившийся режим после коммутации, когда переходные процессы можно считать завершенными. Так как в цепи после коммутации присутствует только источник постоянного тока, то новому установившемуся режиму соответствует схема, приведенная на рис.4.6б. Эта схема получается из схемы на рис.4.6а заменой индуктивности перемычкой, а емкости – разрывом. Применяя формулу разброса, получим

.

2. Составляем характеристическое уравнение, удалив источник тока и сделав разрыв, например, в ветви с емкостью (рис.4.7а). При удалении источника тока он заменяется его внутренним сопротивлением – бесконечностью (так как источник тока - идеальный).

.Следовательно, характеристическое уравнение имеет вид:

,

где , . По виду корней характеристического уравнения определяем общий вид свободной составляющей:

,

где постоянные интегрирования.

3. Запишем искомый ток после коммутации и систему уравнений для определения постоянных интегрирования:

.

На основании (4.21) найдем:

4. Из полученной системы следует, что необходимо найти - ННУ (ток через емкость в момент коммутации) и - ЗНУ (первая производная тока в момент сразу после коммутации).

Для нахождения указанного ЗНУ необходимо найти все ННУ, т.е. кроме надо найти также .

Для определения ННУ рассмотрим схему до коммутации. Учтем, что до коммутации существовал режим постоянного тока, поэтому емкость была эквивалентна разрыву, а индуктивность – перемычке (рис.4.7б).

По формуле разброса найдем:

,

.

Заметим, что до коммутации ток через емкость не тек, но напряжение между ее обкладками существовало.

5. Найдем ЗНУ . Для этого рассмотрим схему сразу после коммутации, применив к ней законы Кирхгофа (см. схему на рис.4.6а при замкнутом положении ключа). Получим:

Теперь воспользуемся законами коммутации: , . Тогда:

6. Теперь определим постоянные интегрирования:

, .

7. Записываем окончательный вид искомой функции: