Баланс мощности для гармонической цепи

Ранее были рассмотрены понятия мгновенной мощности и энергии, потребляемой или отдаваемой некоторым идеализированным элементом в цепь. Только что мы говорили об активной мощности потребителя. Прояснить эти понятия нам поможет рассмотрение энергетических соотношений для линейных цепей (при гармонических источниках энергии).

Рассмотрим двухполюсник (рис.2.7), в качестве которого могут быть емкость, индуктивность или резистор. В гармоническом режиме ток и напряжение на двухполюснике меняются гармонически, но, возможно, с различными начальными фазами. Если считать, что начальная фаза напряжения равна 0, а ток и напряжение сдвинуты по фазе на , получим для мгновенной мощности:

, (2.31)

где , - соответствующие действующие значения гармонических напряжения и тока.

Активной или средней мощностью двухполюсника называется величина

. (2.32)

Физически есть энергия, которая выделяется в единицу времени в виде теплоты на участке схемы, при условии, что в эту единицу времени укладывается целое число периодов .

Хотя ранее мы показали, что мгновенная мощность индуктивности и емкости в некоторые моменты времени может быть отрицательной, однако средняя за период мощность (2.32) для пассивного двухполюсника всегда неотрицательна, иначе он бы генерировал энергию.

Электрические машины и аппараты конструируют для работы при определенных значениях напряжения и тока. Поэтому их характеризуют не активной мощностью, зависящей от сдвига фаз , а полной мощностью:

. (2.33)

Очевидно, что полная мощность равна наибольшему значению активной мощности при заданных напряжении и токе.

При расчетах электрических цепей находит применение также реактивная мощность, равная

. (2.34)

Модуль величины есть средняя скорость запасания или отдачи в цепь электрической энергии - для емкости, когда , либо магнитной энергии – для индуктивности, когда .

На резисторе всегда происходит преобразование электрической энергии в тепловую, поэтому он не может накапливать энергию, следовательно, для него справедливо равенство .

Рассмотрим понятие полной комплексной мощности.

Полной комплексной мощностью гармонического источника ЭДС (рис.2.8) назовем комплексную величину

, (2.35)

где - комплексная амплитуда данного источника ЭДС, - комплексная амплитуда тока , протекающего в ветви с данным источником ЭДС; знак - означает комплексно - сопряженную величину.

Аналогично определяется полная комплексная мощность гармонического источника тока:

, (2.36)

где - напряжение, приложенное на зажимах источника тока.

Вообще, полная комплексная мощность любого двухполюсника (пассивного или активного) есть комплексное число , где и - комплексные действующие значения напряжения и тока на данном двухполюснике.

Из выражений (2.32), (2.33), (2.34) следует, что , , , .

Для резистора , поэтому его полная мощность чисто действительна и равна активной:

. (2.37)

Для емкости ток опережает по фазе на напряжение, следовательно, и

. (2.38)

На индуктивности ток отстает по фазе от напряжения - , поэтому

. (2.39)

Баланс мощности для цепи выражает закон сохранения энергии: сумма полных комплексных мощностей всех источников энергии в цепи равна сумме полных комплексных мощностей всех пассивных элементов данной цепи.

Например, для цепи, схема которой приведена на рис.2.8, баланс мощностей имеет вид:

. (2.40)

Разделяя в последнем выражении действительную и мнимую части, получим:

,

. (2.41)

Из схемы на рис.2.8 видно, что , , . Тогда, используя в выражениях (2.41) равенства (2.37)-(2.39), получим:

(2.42)

Чтобы получить уравнения баланса мощностей для цепи на рис.2.8, найдем комплексные амплитуды токов , , с помощью законов Кирхгофа.

По первому закону Кирхгофа получим:

, (2.43)

По второму закону Кирхгофа получим два уравнения:

,

. (2.44)

Из последних трех уравнений необходимо найти , , .

Продемонстрируем отыскание этих неизвестных токов с помощью метода Крамера. Для этого приведем систему (2.43)-(2.44) к матричной форме. Преобразуем систему так, чтобы в правых частях равенств были известные величины:

(2.45)

Запишем систему (2.45) в матричной форме:

, (2.46)

где - матрица коэффициентов при неизвестных токах; - вектор – столбец неизвестных токов; - вектор – столбец правых частей системы.

Согласно методу Крамера, для нахождения неизвестной необходимо построить матрицу , которая получена из матрицы заменой первого столбца на столбец правых частей. Далее необходимо найти определители матриц и и затем - их отношение:

(2.47)

Из формулы (2.47) видно, что метод Крамера применим, если только .

Аналогично, чтобы получить токи и , рассчитываются отношения:

, , (2.48)

где и - матрицы, полученные из заменой соответственно второго и третьего столбцов на столбец правых частей .

Рассчитаем определитель . Получим:

.

Для определителя будем иметь:

.

Теперь по формуле (3.47) находим ток :

. (2.49)

Аналогично получаются выражения для токов и . Самостоятельно покажите, что выражения для и имеют вид:

, (2.50)

. (2.51)

Произведем расчет по формулам (2.49)-(2.51). Пусть для схемы на рис.2.8 известно:

, , , параметры источников энергии: , , , , . Тогда получим: , , =

=

= .

Аналогично получаем для и :

,

.

Теперь можно проверить выполнение баланса мощностей по формулам (2.42):

, .

.

Из расчета видим, что с достаточной точностью равенства (2.42) удовлетворяются, что свидетельствует о правильности расчета комплексных амплитуд токов ветвей.

Обычно для инженерных расчетов достаточно получить точность согласно следующим неравенствам, дающим предельную относительную погрешность:

, , (2.52)

где , - сумма активных мощностей всех источников энергии и пассивных элементов цепи, соответственно, , - сумма реактивных мощностей всех источников энергии и пассивных элементов.

Приведенный пример был достаточно простым. Для более сложных схем расчеты вручную становятся затруднительными. Поэтому необходимо уметь проводить указанные расчеты с привлечением ЭВМ.

Ниже приведен текст программы пакета Mathcad 2001i Professional по расчету баланса мощностей для рассмотренной цепи. Нахождение токов было проведено двумя способами: с помощью предварительного вычисления определителей (см. выше) и с помощью привлечения встроенной функции Isolve( , ), позволяющей найти решение системы линейных алгебраических уравнений вида , где - матрица левой части, - вектор – столбец правой части, - столбец неизвестных.

Метод эквивалентных преобразований для синусоидальных цепей.

Метод эквивалентных преобразований позволяет при некоторых условиях упростить цепь, находящуюся при гармоническом воздействии.

Пусть дана схема на рис.2.9а. Покажем, что она может быть преобразована в схему, приведенную на рис.2.9б, где - некоторое эквивалентное сопротивление.

Рассмотрим схему на рис.2.9а. Введем токи в ветвях так, как показано на рис.2.9а, и рассмотрим контур, образованный токами и . По второму закону Кирхгофа для указанного контура получим:

, (2.53)

где .

Применяя первый закон Кирхгофа к узлу 2 и используя равенство (2.53), найдем:

, (2.54)

где , . Из (2.54) видно, что параллельно соединенные между узлами 1 и 2 индуктивность и емкость можно рассматривать в режиме гармонического сигнала как эквивалентный элемент, к которому приложено напряжение и который обладает сопротивлением (рис.2.10б). Применяя второй закон Кирхгофа к контуру на рис.2.10б:

,

приходим к выводу, что участок цепи, в котором комплексные сопротивления , и соединены последовательно, эквивалентен комплексному сопротивлению , равному сумме сопротивлений , и :

.

Таким образом, приходим к эквивалентной схеме на рис.2.10в.

Рассмотрим другой пример. Обратимся к схеме на рис.2.11а. Используя понятие обобщенного узла, замечаем, что элементы и соединены параллельно. Элементы и соединены последовательно, поэтому получаем схему на рис.2.11б, где , . Учитывая последовательность соединения эквивалентных комплексных сопротивлений и , приходим к окончательной эквивалентной схеме на рис.2.11в, где .

Аналогично преобразовываются к эквивалентным схемы на рис.2.12а и рис.2.13а (сделать эти преобразования самостоятельно).

Задачи для закрепления материала

Для закрепления материала “законы Кирхгофа”, “метод комплексных амплитуд” и “эквивалентные преобразования в схемах синусоидального тока” предлагаются следующие задачи.

1. Составить уравнения по второму закону Кирхгофа для схемы на рис.2.14а относительно мгновенных значений токов и напряжений с учетом полюсных уравнений.

Ответ: .

2. С помощью первого закона Кирхгофа для схемы на рис.2.14а определить комплексную амплитуду тока , если комплексные амплитуды токов и заданы: , .

Ответ:

3. С помощью первого закона Кирхгофа определить для схемы на рис.2.14а комплексную амплитуду напряжения на емкости, если частота гармонического источника ЭДС равна , значение емкости конденсатора , а амплитуды токов и соответственно равны , .

Ответ: .

4. С помощью первого закона Кирхгофа определить для схемы на рис.2.14а комплексную амплитуду напряжения на индуктивности , если частота гармонического источника ЭДС равна , индуктивность , а амплитуды токов и соответственно равны , .

Ответ: .

5. Для данной схемы (рис.2.14б) найти комплексное действующее значение тока , если , , , амплитудное значение гармонического источника тока, его частота и начальная фаза соответственно равны , , .

Ответ: .

6. Для схемы на рис.2.14б определить действительную составляющую комплексной мощности, потребляемой всеми пассивными элементами. Для схемы известно: , , , амплитудное значение гармонического источника тока, его частота и начальная фаза соответственно равны , , .

Ответ: .

7. Для схемы на рис.2.15а определить комплексную амплитуду тока .

Ответ: .

8. Для схемы на рис.2.15б определить комплексную амплитуду напряжения .

Ответ: .

9. Определить комплексную амплитуду тока для схемы на рис.2.15в.

Ответ: .

10. Определить комплексные амплитуды напряжений на емкости и индуктивности для схемы на рис.2.15г.

Ответ: , .