9. Нормальный закон распределения

9.1 Автомат штампует детали. Контролируемая длина детали распределена нормально с математическим ожиданием =50 мм (проектная длина). Фактическая длина изготовленных деталей мм.

Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали:

а) больше 55 мм.

б) меньше 40 мм.

9.2 Процент содержания воды в угле является нормально распределенной величиной с математическим ожиданием, равным 16% и средним квадратическим отклонением, равным 4%.

Определить вероятность того, что в наудачу взятой пробе угля будет от 12% до 24% воды.

9.3 Предполагается, что диаметр валиков, изготовляемых на автоматическом станке, является нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием, равным 5,6 см. Вероятность того, что наудачу взятый валик имеет размер от 5,65 до 5,67 см, равна 0,2.

Чему равна вероятность того, что размер наудачу взятого валика будет от 5,53 до 5,55 см? Ответ обосновать графически.

9.4 Какой величины должно быть поле допуска, чтобы с вероятностью не более 0,0027 получалась деталь с контролируемым размером вне поля допуска, если случайные отклонения размера середины поля допуска подчиняются закону нормального распределения с параметрами 0 мк и =5 мк?

9.5 Случайная величина подчинена нормальному закону с математическим ожиданием, равным нулю. Вероятность того, что случайная величина попадет на участок (–3; 3), равна 0,5.

Найти выражение для дифференциальной функции и построить ее график.

9.6 Детали, выпускаемые цехом, по размеру диаметров распределяются по нормальному закону с параметрами: 5 см, =0,81 см².

Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали:

а) от 4 до 7 см;

б) отличается от математического ожидания не более чем на 2 см.

9.7 Детали, выпускаемые цехом, по размеру диаметра распределяются по нормальному закону с математическим ожиданием 5 см и дисперсией 0,81см².

Найти границы, в которых следует ожидать размер детали, чтобы вероятность невыхода за эти границы была равна 0,95.

9.8 Результаты измерения расстояния между двумя населенными пунктами подчинены нормальному закону с математическим ожиданием 16 км и средним квадратическим отклонением 100 м.

Найти вероятность того, что расстояние между этими пунктами не более 16,25 км.

9.9 Случайная величина задана функцией плотности

.

Найти вероятность того, что случайная величина не попадет в интервал от 10 до 100.

9.10 Случайная величина задана функцией плотности

.

Определить:

а) вероятность попадания её значения в промежуток ;

б) промежуток, в который с практической достоверностью попадут все значения случайной величины.

9.11 При обследовании работы автоматической линии оказалось, что длина выпускаемой ею детали является нормально распределенной случайной величиной, среднее значение которой равно 30 см, 0,5 см. Для стандартной детали отклонение не должно превышать 0,8 см.

Вычислить вероятность того, что наудачу взятая деталь будет удовлетворять требованиям стандарта.

9.12 Случайная величина распределена нормально с математическим ожиданием 30. Вероятность попадания в интервал равна 0,44.

Чему равна вероятность попадания в интервал ?

9.13 При опытной стрельбе было обнаружено, что отклонение точки попадания от цели подчиняется нормальному закону распределения с =0 и =4.

Указать вероятность того, что .

9.14 Рост мужчин подчиняется нормальному закону со средним значением 170 см, средним квадратическим отклонением, равным 50 см.

Найти величину, которую не превосходит рост 75% мужчин.

9.15 Вес яблок подчиняется нормальному закону и практически заключен в промежутке от 70 г до 130 г.

Найти величину, которую превысит вес 60 % яблок.

9.16 За один рейс автомашина должна перевезти груз массой в среднем 6 тонн, но фактически в каждом рейсе наблюдаются отклонения от этого значения с дисперсией 0,49 т² .

Определить вероятность того, что за 100 рейсов будет перевезено не менее 580 т.

9.17 Детали, выпускаемые цехом, по размеру диаметра распределяются по нормальному закону с математическим ожиданием 3 см и дисперсией 0,49 см².

Найти границы, в которых следует ожидать размер диаметра детали, чтобы вероятность невыхода за эти границы была равна 0,9.

9.18 Путем проб установлено, что потери зерна при уборке составили в среднем 9 г на 1 м². Среднее квадратическое отклонение потерь равно 3 г.

Определить вероятность того, что на 1 га потери составят не более

90,5 кг (предполагается, что потери зерна подчинены нормальному закону).

9.19 Путем проб установлено, что потери зерна при уборке составили в среднем 9 г на 1 м². Среднее квадратическое отклонение потерь равно 3 г.

Определить величину, которую не превзойдут потери на 1 га с вероятностью 0,95 (предполагается, что потери зерна подчинены нормальному закону).

Указание: 1 га =10000 м².

9.20 Вес яблок подчинен нормальному закону со средним значением 100 г и дисперсией 49 г².

Найти величину, которую не превзойдет вес 50 яблок с вероятностью 0,85.

9.21 Вес упаковок с сахарным песком подчиняется нормальному закону со средним значением 5 кг и средним квадратическим отклонением 10 г.

Найти величину, которую не превзойдет вес 10 упаковок с вероятностью 0,9.

9.22 Вес клубней картофеля подчиняется нормальному закону. Известно, что в партии 30% клубней имеет вес менее 40 г, а 85% – менее 150 г.

Определить средний вес и среднее квадратическое отклонение веса клубней.

9.23 График нормального распределения случайной величины Х имеет вид ( см. рис. 5). Известно, что . Найти .

у у=f(x)

S = 0,1

0 1 5 х

Рис. 5

9.24 График нормального распределения случайной величины Х имеет вид (см. рис. 6). Известно, что . Найти .

у=f(x) у

S = 0,4

–3 –2 0 х

Рис. 6

9.25 График нормального распределения случайной величины Х имеет вид (см. рис. 7). Известно, что . Найти .

у у=f(x)

S = 0,5

0 3 7 11 х

Рис. 7

9.26 Случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами –3, 2.

Найти вероятность того, что в результате 100 независимых испытаний случайная величина хотя бы один раз окажется в промежутке .

9.27 Случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами –1, 1.

Найти вероятность того, что в результате 7 независимых испытаний случайная величина примет значение > 0 ровно 3 раза.

9.28 Случайные отклонения размера детали от номинала распределены нормально. Математическое ожидание размера детали равно 200 мм, среднее квадратическое отклонение равно 0,25 мм. Стандартными считаются детали, размер которых заключен между 199,5 мм и 200,5 мм. Из-за нарушения технологии точность изготовления деталей уменьшилась и характеризуется средним квадратическим отклонением 0,4 мм.

На сколько повысился процент бракованных деталей?

9.29 Случайные отклонения размера изделия от номинала распределены нормально с математическим ожиданием 100 мм и средним квадратическим отклонением 0,3 мм. Стандартными считаются изделия, размер которых отличается от среднего не более, чем на 0,5 мм. После регулировки точность размера изделия повысилась и характеризуется средним квадратическим отклонением 0,2 мм.

На сколько уменьшился процент брака?

9.30 Случайные отклонения размера детали от номинала распределены нормально. Математическое ожидание размера детали равно 180 мм, среднее квадратическое отклонение равно 0,16 мм. Стандартными считаются детали, размер которых заключен между 179,5 мм и 180,5 мм. Из-за нарушения технологии точность изготовления деталей уменьшилась и характеризуется средним квадратическим отклонением 0,3 мм.

На сколько повысился процент бракованных деталей?

9.31 Случайные отклонения размера изделия от номинала распределены нормально с математическим ожиданием 150 мм и средним квадратическим отклонением 0,4 мм. Стандартными считаются изделия, размер которых отличается от среднего не более, чем на 0,5 мм. После регулировки точность размера изделия повысилась и характеризуется средним квадратическим отклонением 0,3 мм.

На сколько уменьшился процент брака?