Расчетно-графическая работа по математической статистике

Задание 1. С целью контроля за физической подготовленностью у 35 случайно отобранных спортсменов – велосипедистов была измерена высота прыжка вверх с места.

Протокол выборки X (см):

53 48 48 53 52 53 48 56 50 52 50 49 51 62 58 52 56 54 45 58 47 44 50 52 59 45 60 49 39 55 48 47 55 51 54

1. Построить ряд распределения выборки.

2. Изобразить ряд распределения графически (гистограмму плотностей относительных частот).

3. Построить эмпирическую функцию распределения.

4. Найти числовые характеристики выборки:

– среднюю выборочную

D_в – выборочную дисперсию

– выборочное среднее квадратическое отклонение

M_o – моду

M_e – медиану

V – коэффициент вариации

Решение.

1. Так как число различных вариант в выборке велико, то будем составлять интервальный ряд распределения по следующей схеме:

   1. Найдем размах вариации R_вар = x_max - x_min= 62-39 = 23(см)

   2. Определим k – число частичных интервалов по таблице 3: т.к. n=35, то k=6.

   3. Определим h – шаг:

(см).

Замечание: при округлении в значении h оставляют столько знаков после запятой, сколько их в исходных данных.

4. Получаем частичные интервалы (x_i,x_i+1): (39-43), (43-47), (47-51), (51-55), (55-59), (59-63).

5. Подсчитываем частоты n_i – число вариант, попавших в интервал (x_i,x_i+1):

(xi,xi+1)	39-43	43-47	47-51	51-55	55-59	59-63
Рабочее поле	.	. . . .	.	.	.	. .
ni	1	4	11	11	6	2

Полученная таблица есть искомый интервальный ряд распределения выборки.

2. Для графического изображения интервального ряда распределения построим гистограмму плотностей относительных частот. Для этого найдем величину :

(xi,xi+1)	39-43	43-47	47-51	51-55	55-59	59-63
ni п	1	4	11	11	6	2
Wi	0,03	0,12	0,31	0,31	0,17	0,06
	0,0075	0,03	0,0775	0,0775	0,0425	0,015

Д ля построения гистограммы плотностей относительных частот на оси OX, откладываем частичные интервалы, а на оси OY – плотности относительных частот (рис. 12):

W_i /h 0,0775

0,0425

0,03

0,015

0,0075

39 43 47 51 55 59 63 Рис. 12

3) Для построения графика эмпирической функции распределения F*(x) найдем значение этой функции в левых концах частичных интервалов (рис.13):

F*(x)

1

0 39 43 47 51 55 59 63 Рис. 13

4) Найдем числовые характеристики выборки.

Для вычисления выборочных средней, дисперсии предварительно найдем середины частичных интервалов :

(xi,xi+1)		ni
39-43	41	1
43-47	45	4
47-51	49	11
51-55	53	11
55-59	57	6
59-63	61	2

а) Выборочная средняя:

б) Для вычисления дисперсии применим «рабочую» формулу:

в) Выборочное среднее квадратическое отклонение (СКО):

г) Мода:

Поскольку модальным является интервал, имеющий наибольшую частоту, то n₁=4, n₂=11, n₃=11

.

д) Медиана:

Для вычисления M_e составим таблицу:

(xi,xi+1)		ni	nx
39-43	41	1	1
43-47	45	4	5
47-51	49	11	16
51-55	53	11	27
55-59	57	6	33
59-63	61	2	35

Медианным интервалом в нашем случае будет интервал (51-55), так как , то есть , накопленная частота домедианного интервала, то есть n_x=16.

Тогда

е) Коэффициент вариации:

.

Так как коэффициент вариации V < 10%, то изменчивость признака не значимая и т.к. V<33%, то выборка однородная.

Задание 2. Х – рост случайно выбранного студента. С курса случайно отобрали 49 человек. По выборочным данным построен следующий интервальный ряд распределения.

Рост (см) (хi;хi+1)	154-160	160-166	166-172	172-178	178-184
Число студентов ni	9	10	14	9	7

Найти:

1. Точечные оценки для среднего роста, дисперсии, среднего квадратического отклонения роста студентов данного курса.

2. Интервальную оценку среднего роста студентов курса при .

3. Интервальную оценку для среднего квадратического отклонения роста студентов этого курса при .

Решение.

1) Найдем выборочные характеристики , как было показано на Занятии 1 (См. пример 2).

= .

Тогда точечные оценки будут

2) Интервальную оценку для средней генеральной найдем по формуле:

Так как выборка большая находим их равенства:

По таблице функции Лапласа находим =1,44.

Тогда интервальная оценка имеет вид:

3) Интервальную оценку для генерального среднего квадратического отклонения по формуле:

= ,

Задание 3. В таблице приведены данные:

Х	2,5	2,9	2,4	2,0	4,1	5,0	4,1	3,4	3,9	5,0
У	17,6	19,5	18,1	15,0	27,2	33,0	24,8	24,0	28,7	30,5

Х – доза внесения удобрений на 1 га посева зерновых культур на опытном поле некоторого хозяйства, ц д. в. (центнеры действующего вещества);

У – урожайность зерновых культур, ц/га.

Найти:

1. Коэффициент линейной корреляции между Х и У;

2. Составить уравнение линии регрессии У на Х;

3. Построить график полученной линии регрессии и нанести опытные (эмпирические) точки (х_i; у_i);

4. Коэффициент регрессии У на Х и объяснить его экономический смысл;

5. Коэффициент детерминации и объяснить его смысл.

Решение.