3. Теоремы сложения и умножения вероятностей
3.1 Вероятность выигрыша в лотерее 0,1. Некто решил покупать по одному билету из каждого тиража, пока не выиграет.
Найти вероятность того, что он будет участвовать в 5 тираже.
3.2 Три стрелка, вероятности попадания которых соответственно 0,4; 0,7; 0,9, делают по одному выстрелу по мишени.
Найти вероятность хотя бы одного попадания.
3.3 Вероятность того, что событие появится хотя бы один раз в трех независимых испытаниях, равна 0,936.
Найти вероятность того, что событие появится в одном опыте.
3.4 Для каждого прибора вероятность того, что он включен в данный момент, равна 0,6.
Найти вероятность того, что в данный момент включен хотя бы один из трех приборов.
3.5 Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,8; вторым – 0,5. Найти вероятность того, что цель будет поражена только одним стрелком.
3.6 Вероятность попадания в цель из первого орудия равна 0,6; из второго – 0,8; из третьего – 0,5. Цель будет поражена, если произойдет хотя бы два попадания. Каждое орудие произвело по одному выстрелу по цели.
Определить вероятность того, что цель будет поражена.
3.7 Из трех орудий по одной цели произведено по одному выстрелу. Вероятность попадания из первого орудия равна 0,9; из второго – 0,8; из третьего – 0,7.
Определить вероятность того, что будет ровно два попадания.
3.8 Вероятность того, что книга будет в фонде первой библиотеки, равна 0,5; во второй – 0,7; в третьей – 0,4.
Найти вероятность того, что книга есть, по крайней мере в одной библиотеке.
3.9 Приживаемость саженцев роз – 65%, сирени – 90%, жасмина – 80%. Какова вероятность того, что при пересадке погибнет менее одного саженца, если посадили по одному саженцу каждого цветка?
3.10 Каждая буква слова «математика» написана на отдельной карточке. Карточки тщательно перемешаны. Последовательно извлекаются четыре карточки.
Какова вероятность получить слово «тема»?
3.11 Даны две концентрические окружности, радиусы которых 7 см и
5 см. На большем круге наудачу отмечают три точки.
Какова вероятность того, что хотя бы одна из них попадает в кольцо?
3.12 В электрическую цепь включены параллельно 2 прибора, не взаимодействующие друг с другом. Вероятность выхода из строя первого прибора равна 0,1; второго – 0,2.
Определить вероятность того, что узел не выйдет из строя.
3.13 Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение дня его внимания потребует первый станок, равна 0,7; второй – 0,75; третий – 0,8.
Найти вероятность того, что в течение смены не потребуют внимания рабочего какие-либо два станка.
3.14 Вероятность поражения при одном выстреле первым стрелком равна 0,8; вторым – 0,3. Первый стрелок сделал 2 выстрела, второй – 4 выстрела.
Найти вероятность того, что цель не поражена.
3.15 Определить вероятность того, что наугад вызванный студент является отличником, если в группе 2% неуспевающих студентов, а 25% успевающих студентов – отличники.
3.16 Вероятность промаха для первого стрелка 0,8; для второго – 0,3. Каждый сделал по 2 выстрела в одну цель.
Какова вероятность того, что цель поражена?
3.17 Первый стрелок из 100 выстрелов делает примерно 85 попаданий, второй – из 50 выстрелов – 5 промахов. Каждый стрелок делает по одному выстрелу.
Какова вероятность того, что будет хотя бы два промаха?
3.18 Узел состоит из двух последовательно соединенных элементов, надежность работы которых соответственно 0,7 и 0,9.
Какова вероятность того, что узел выйдет из строя?
3.19 Два игрока в Point ball стреляют друг в друга. Вероятность попадания первого игрока в противника 0,9; вероятность уклониться от выстрела противника – 0,2. Для второго игрока эти вероятности равны 0,7 и 0,4.
Какова вероятность того, что оба игрока будут поражены?
3.20 В двух ящиках имеются радиолампы. В первом 12 ламп, из них одна нестандартная; во втором – 10 ламп, из которых две нестандартные. Из каждого ящика наудачу взяли по одной лампе.
Какова вероятность того, что хотя бы одна из них окажется нестандартной?
3.21 В коробке 30 шоколадных конфет, среди которых конфет с темной начинкой в два раза больше, чем со светлой. Наудачу берут три конфеты.
Какова вероятность того, что хотя бы одна конфета со светлой начинкой?
3.22 В мешке нити, среди которых 30% белых, а остальные – красные. Определить вероятность того, что вынутые наугад три нити одного цвета.
3.23 В механизм входят три одинаковые детали. Работа механизма нарушается, если при его сборке будут поставлены все три детали размера, больше обозначенного на чертеже. У сборщика есть 12 деталей, из которых пять большего размера.
Найти вероятность того, что первый собранный из этих деталей механизм будет работать нормально, если сборщик берет детали наудачу.
3.24 Три студента сдают экзамен. Первый студент знает каждый второй вопрос, второй студент – каждый второй из тех, что знает первый, третий студент не знает 3 вопроса из 24 вопросов.
Какова вероятность того, что экзамен сдадут только двое студентов?
3.25 Определить вероятность того, что взятое наудачу изделие окажется высшего сорта, если в партии 3% брака, а 10% доброкачественных – высшего сорта.
3.26 Узел состоит из трех элементов (рис. 1). Надежность работы элементов соответственно 0,9; 0,8; 0,6.
Рис.1
Найти вероятность того, что узел выйдет из строя.
3.27 В пакете 10 семян огурцов двух сортов. Среди них 4 семени – сорта «Малышок». Наудачу берут три семени.
Какова вероятность того, что два из них окажутся сорта «Малышок»?
3.28 В квадрат со стороной 4 см вписан круг. Наудачу в квадрате отмечают две точки.
Какова вероятность того, что хотя бы одна из точек окажется в круге?
3.29 При изготовлении детали заготовка должна пройти 4 операции. Предполагая появление брака на отдельных операциях событиями независимыми, найти вероятность изготовления стандартной детали, если вероятность брака на первой операции равна 0,02; второй – 0,01; третьей – 0,02; четвертой – 0,03.
3.30 В корзине 100 роз. Число красных, желтых и белых относится как 5:3:2.
Наудачу берут 3 розы. Какова вероятность, что они одного цвета?
3.31 В круг радиуса 10 см вписан квадрат. Наудачу отмечают две точки. Какова вероятность того, что обе точки окажутся вне квадрата?