- •Часть I. Аналитическая геометрия
- •Введение
- •Глава 1. Векторная алгебра. Системы координат. §1. Направленные отрезки. Понятие вектора.
- •§ A 2. Операции над векторами.
- •§3. Угол между векторами. Ориентация пары векторов на плоскости или тройки векторов в пространстве.
- •§4. Проекция вектора на ось.
- •§5. Скалярное произведение векторов.
- •§6. Координаты вектора и точки на прямой.
- •§7. Координаты вектора и точки на плоскости.
- •§8. Координаты вектора и точки в пространстве.
- •§ 9. Деление отрезка в данном отношении.
- •§ 10. Векторное произведение.
- •§11. Формулы для вычисления скалярного и векторного произведений в декартовых координатах.
- •§12. Смешанное произведение векторов.
- •§13. Двойное векторное произведение.
- •§14. Полярная система координат на плоскости.
- •§15. Сферическая и цилиндрическая системы координат в пространстве.
- •§16. Преобразование координат.
- •§17. Общее преобразование координат в пространстве.
- •§18. Примеры решения задач.
- •Глава 2. Прямые и плоскости §1. Уравнение кривой и поверхности.
- •§2. Уравнение прямой на плоскости.
- •§3. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.
- •§4. Уравнение прямой в нормальной форме. Расстояние от точки до прямой.
- •§ 5. Уравнение прямой в полярных координатах.
- •§6. Пучок прямых.
- •§7. Уравнение плоскости в пространстве.
- •§8. Уравнение плоскости в нормальной форме. Расстояние от точки до плоскости.
- •§9. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве.
- •§10. Уравнение прямой в пространстве.
- •§11. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
- •§12. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Расстояние между прямыми.
- •§13. Примеры решения задач.
- •Аналогично m3(–1,–3).
- •Прибавим ко второму уравнению первое, умноженное на 4:
- •Точка d делит отрезок bc пополам. Поэтому
- •Отсюда находим
- •Глава 3. Кривые второго порядка §1. Эллипс.
- •§2. Гипербола.
- •7. Гипербола
- •§3. Конические сечения. Парабола.
- •§1 И в §2, совпадают с фокусами, определенными в этом параграфе. Кроме того, эллипс и гипербола имеют две пары фокус-директриса, и определить фигуру можно с помощью любой из пар.
- •§4. Касательные к коническим сечениям.
- •§5. Диаметры конических сечений.
- •§6. Уравнения конических сечений в полярной системе координат.
- •§7. Общее уравнение кривой второго порядка. Центр кривой.
- •§ 8. Классификация центральных кривых второго порядка (случай 0).
- •§10. Примеры решения задач.
- •Значит, кривая имеет центр. Найдем координаты центра (хo, yo) из системы уравнений (10):
- •Глава 4. Поверхности второго порядка §1. Цилиндрические поверхности.
- •§2. Конические поверхности.
- •§3. Поверхность вращения.
- •§4. Эллипсоид.
- •§5. Однополостной и двуполостной гиперболоиды.
- •§6. Эллиптический и гиперболический параболоиды.
- •§7. Классификация поверхностей второго порядка.
- •§8. Примеры решения задач
- •Приложение §1. Матрицы и определители.
- •§2. Правило Крамера.
- •Используемые сокращения
- •Алфавитный указатель
- •Литература
§11. Формулы для вычисления скалярного и векторного произведений в декартовых координатах.
Пусть в пространстве задана декартова СК, i, j, k – базисные орты. Пусть a;\s\up8(((a1, a2, a3), b;\s\up9(((b1, b2, b3). В соответствии со свойствами скалярного произведения мы можем при скалярном умножении векторов раскрывать скобки, как при умножении чисел. Поэтому
a;\s\up8(( · b;\s\up9(( = (a1i + a2j + a3k) ·(b1i + b2j + b3k) = a1b1i·i + a1b2 i·j + a1b3 i·k +
+ a2b1j·i + a2b2 j·j + a2b3 j·k + a3b1k·i + a3b2 k·j + a3b3k·k.
Нам известно, что i, j, k – единичные и взаимно ортогональные i·i = = j·j = k·k = 1, i·j = i·k = j·k = 0, и это же верно для произведений в другом порядке. Поэтому
a;\s\up8(( · b;\s\up9(( = a1b1 + a2b2 + a3b3 . (7)
a;\s\up8(( 2 = a;\s\up8(( ·a;\s\up8((= a12 + a22 + a32 (8)
a;\s\up8((= = (9)
cos(a;\s\up8((, b;\s\up9(( ) = = . (10)
Если A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), то AB;\s\up10( –( (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1)
AB;\s\up10( –(= . (11)
Обозначим (A, B) – расстояние между точками A и B. Тогда (A, B) вычисляется по той же формуле (11). Отметим, что эта функция обладает следующими свойствами:
1. (A, B) = (B, A);
2. (A, B) + (B, C) (A, C) (неравенство треугольника);
3. (A, B) 0, и (A, B) = 0 A = B.
В дальнейшем нам понадобится понятие определителя и его свойства. Этот материал входит в курс высшей алгебры, но изучается, как правило, позже, чем векторное произведение. Поэтому необходимые сведения об определителях 2 и 3 порядка приведены в Приложении к данному курсу лекций. Рекомендуется почитать Приложение, прежде чем продолжить изучение текущего параграфа.
Теорема 5. Векторное произведение двух векторов, заданных своими координатами в декартовой СК: a;\s\up8(((a1, a2, a3) и b;\s\up9(((b1, b2, b3), вычисляется по формуле:
(12)
= (a1b2 – a2b1)i – (a1b3 – a3b1)j + (a2b3 – a3b2)k .
Доказательство. Обозначим c;\s\up8(( – это вектор, который вычисляется по этой формуле. Мы докажем, что он удовлетворяет всем условиям в определении векторного произведения.
1. С одной стороны
c;\s\up8((2= (a2b1– a3b1)2 + (a1b3 – a3b1)2 + (a2b3 – a3b2)2 (*) ,
А с другой стороны
(a;\s\up8((b;\s\up9((sin(a;\s\up8((, b;\s\up9(( ))2 = a;\s\up8((2b;\s\up9((2sin2(a;\s\up8((, b;\s\up9(( ) =a;\s\up8((2b;\s\up9((2(1 – cos2(a;\s\up8((, b;\s\up9(( )) =
=a;\s\up8((2b;\s\up9((2– a;\s\up8((2b;\s\up9((2cos2(a;\s\up8((, b;\s\up9(( ) =a;\s\up8((2b;\s\up9((2 – (a;\s\up8(( ·b;\s\up9(( )2 =
= (a12 + a22 + a32 ) · (b12 + b22 + b32 ) – (a1b1 + a2b2 + a3b3)2. (**)
С амостоятельно раскройте скобки в (*) и (**), и убедитесь, что эти выражения совпадают.
2. a;\s\up8(( ·c;\s\up8(( = (a1i + a2j + a3k) · ( )
так как в определителе есть две одинаковые строки. Значит a;\s\up8(( c;\s\up8(( . Ана-логично доказывается, что b;\s\up9((c;\s\up8((.
3
x
y
z
a;\s\up8((
O
c;\s\up8((
b;\s\up9((
однозначно. Тогда a;\s\up8(((a1,0, 0), b;\s\up9(((b1, b2, 0), причем, a1> 0, b2> 0. Согласно формуле (12) получаем c;\s\up8(( = a1b2k, причем, a1b2> 0. Значит c;\s\up8(–( Oz, и из чертежа видим, что тройка (a;\s\up8((, b;\s\up9((, c;\s\up8(( ) – правая.
И так, вектор, который вычисляется по нашей формуле удовлетворяет всем пунктам в определении векторного произведения.
Следствие 1. a;\s\up8(( b;\s\up9(( = – b;\s\up9((a;\s\up8((.
Действительно, по свойству определителя, при перестановке двух строк изменяется знак:
Следствие 2. (a;\s\up8(( ) b;\s\up9(( = (a;\s\up8(( b;\s\up9(( ).
Действительно, по свойству определителя, общий множитель элементов одной строки выносится за знак определителя:
Следствие 3. a;\s\up8(( (b;\s\up9(( +c;\s\up8(( ) = a;\s\up8((b;\s\up9(( + a;\s\up8((c;\s\up8((.
Действительно, по свойствам определителя
Следствие 4. ij = k, ki = j, jk = i.
Докажите это самостоятельно с помощью формулы (12).
В се эти равенства удобно запоминать с помощью диаграммы. Произведение двух ортов взятых подряд по кругу дает третий орт, а в обратном направлении – третий со знаком «–».