§2. Гипербола.

Определение. Гиперболой называется множество точек  на плоскости, обладающее следующим свойством: существуют такие точки F₁, F₂, называемые фокусами, что модуль разности расстояний от произвольной точки M гиперболы до F₁ и от M до F₂ есть величина постоянная:

  MF₁ – MF₂ = 2a = const, (3)

т.е. независящая от выбора точки M, и 2a < 2c = F₁F₂ .

Составим уравнение гиперболы в декартовых координатах. Начало координат поместим в середину отрезка F₁F₂,

x

и направим OxOF1;\s\up10( –(. Тогда ось Oy определится однозначно. Фокусы будут иметь координаты F₁(c, 0), F₂(– c, 0).

П усть M(x, y) – произвольная точка гиперболы. Тогда

 MF₁ = ,

 MF₂ = .

Согласно определению (3) имеем

=  2a + .

Далее совершаем дословно такие же преобразования, что и для эллипса. В результате получим уравнение

x²(c² – a²) – a²y² = a²(c² – a²).

Упражнение. Проделайте эти преобразования самостоятельно.

По определению a < c; поэтому можем обозначить b² = c² – a², и разделив на a²b² окончательно получаем

– = 1 . (4 )

Мы доказали, что координаты произвольной точки гиперболы удовлетворяют (4). Необходимо еще доказать обратное: если координаты точки M(x, y) удовлетворяют (4), то выполнено (3). Из (4) выразим y² = b²( –1) и подставим в выражение для  MF₁, учитывая при этом обозначение b² = c² – a². Точно так же, как и для эллипса получим

 MF₁ = a – ,  MF₂ == a + . (_**)

Упражнение. Проделайте это самостоятельно.

Из (4) вытекает, что x² = a²(1+ )   x   a, и по определению c > a. Значит, второе слагаемое в формулах (_**) по модулю больше первого и при x  a получаем

 MF₁ = – a,  MF₂ = a + ,

а при x  – a получаем

 MF₁ = a – ,  MF₂ = – a – .

В обоих случаях выполняется (3).

Уравнение (4) называется каноническим уравнением гиперболы.

Г

y

еометрические свойства гиперболы.

1

b

. Мы уже отмечали, что для любой точки M(x, y) на гиперболе

O

x

a

x² = a²(1+ )   x   a,

к роме того (4 ) 

x² >   x >  y  .

З начит вся гипербола содержится в области, определяемой этими неравенствами. Она заштрихована на рисунке.

2 . Ось Ox пересекает гиперболу в точках A₁(a, 0), A₂(– a, 0), которые называются вершинами гиперболы. Ось Oy ее не пересекает. Числа a и b называются полуосями гиперболы – действительной и мнимой.

3. Дословно так же, как и для эллипса доказывается, что координатные оси являются осями симметрии эллипса, а начало координат – центром симметрии.

4. Прямые l₁: y = x и l₂: y = ^– x называются асимптотами гиперболы.

Гипербола неограниченно к ним приближается, но нигде не пересекает.

Действительно, пусть M(x, y) – точка на гиперболе, а M (x, y ) – на соответствующей асимптоте. Тогда расстояние от точки M до асимптоты меньше, чем  MM . При этом

 MM  = y  – y .

(y )² = x², y² = b²( –1) (*_** )

Из этих равенств вытекает, что при  x  ^  будет  y  ^  и  y ^  . Кроме этого,

(y )² – y² = b²   y  – y = ^ 0 при  x  ^ .

Заметим, что обе асимптоты вместе можно задать вместе одним уравнением – = 0 . Для его получения достаточно в правой части уравнения (4) заменить 1 на 0. Асимптоты проходят через диагонали прямоугольника, который определяется неравенствами  x   a,  y   b. Он называется фундаментальным прямоугольником гиперболы. Для построения гиперболы рекомендуется сначала изобразить этот прямоугольник.

5. При a = b гипербола называется равнобокой. Ее уравнение

x² – y² = a² , (5)

а асимптоты имеют уравнения l₁: y = x , l₂: y = – x . Очевидно, что l₁  l₂ , и мы можем выбрать их за оси новой декартовой СК Ox y , которая получается из Oxy поворотом на угол – 45^о. Тогда формулы замены координат имеют вид:

x = ( x + y ) ,

y = (– x + y ).

Подставим их в (5) и получим уравнение

2x y = a²  y = ,

где k = a²/2. Таким образом, равнобокая гипербола задает график обратной пропорциональности.

6. Параметрические уравнения гиперболы имеют вид:

или

x =  ach t , x = a(t + 1/t),

y = bsh t, t R . y = b(t – 1/t), t R\{0}.

Знак «+» соответствует одной ветви гиперболы, а «–» – другой ветви.

У пражнение. Проверьте это самостоятельно.