- •Часть I. Аналитическая геометрия
- •Введение
- •Глава 1. Векторная алгебра. Системы координат. §1. Направленные отрезки. Понятие вектора.
- •§ A 2. Операции над векторами.
- •§3. Угол между векторами. Ориентация пары векторов на плоскости или тройки векторов в пространстве.
- •§4. Проекция вектора на ось.
- •§5. Скалярное произведение векторов.
- •§6. Координаты вектора и точки на прямой.
- •§7. Координаты вектора и точки на плоскости.
- •§8. Координаты вектора и точки в пространстве.
- •§ 9. Деление отрезка в данном отношении.
- •§ 10. Векторное произведение.
- •§11. Формулы для вычисления скалярного и векторного произведений в декартовых координатах.
- •§12. Смешанное произведение векторов.
- •§13. Двойное векторное произведение.
- •§14. Полярная система координат на плоскости.
- •§15. Сферическая и цилиндрическая системы координат в пространстве.
- •§16. Преобразование координат.
- •§17. Общее преобразование координат в пространстве.
- •§18. Примеры решения задач.
- •Глава 2. Прямые и плоскости §1. Уравнение кривой и поверхности.
- •§2. Уравнение прямой на плоскости.
- •§3. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.
- •§4. Уравнение прямой в нормальной форме. Расстояние от точки до прямой.
- •§ 5. Уравнение прямой в полярных координатах.
- •§6. Пучок прямых.
- •§7. Уравнение плоскости в пространстве.
- •§8. Уравнение плоскости в нормальной форме. Расстояние от точки до плоскости.
- •§9. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве.
- •§10. Уравнение прямой в пространстве.
- •§11. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
- •§12. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Расстояние между прямыми.
- •§13. Примеры решения задач.
- •Аналогично m3(–1,–3).
- •Прибавим ко второму уравнению первое, умноженное на 4:
- •Точка d делит отрезок bc пополам. Поэтому
- •Отсюда находим
- •Глава 3. Кривые второго порядка §1. Эллипс.
- •§2. Гипербола.
- •7. Гипербола
- •§3. Конические сечения. Парабола.
- •§1 И в §2, совпадают с фокусами, определенными в этом параграфе. Кроме того, эллипс и гипербола имеют две пары фокус-директриса, и определить фигуру можно с помощью любой из пар.
- •§4. Касательные к коническим сечениям.
- •§5. Диаметры конических сечений.
- •§6. Уравнения конических сечений в полярной системе координат.
- •§7. Общее уравнение кривой второго порядка. Центр кривой.
- •§ 8. Классификация центральных кривых второго порядка (случай 0).
- •§10. Примеры решения задач.
- •Значит, кривая имеет центр. Найдем координаты центра (хo, yo) из системы уравнений (10):
- •Глава 4. Поверхности второго порядка §1. Цилиндрические поверхности.
- •§2. Конические поверхности.
- •§3. Поверхность вращения.
- •§4. Эллипсоид.
- •§5. Однополостной и двуполостной гиперболоиды.
- •§6. Эллиптический и гиперболический параболоиды.
- •§7. Классификация поверхностей второго порядка.
- •§8. Примеры решения задач
- •Приложение §1. Матрицы и определители.
- •§2. Правило Крамера.
- •Используемые сокращения
- •Алфавитный указатель
- •Литература
§8. Координаты вектора и точки в пространстве.
Пусть в пространстве заданы три некомпланарных вектора a;\s\up8((, b;\s\up9((, c;\s\up8((. Назовем их базисными, а тройку B = {a;\s\up8((, b;\s\up9((, c;\s\up8((} – базисом. Пусть O – произвольная точка. Четверку R = {O, a;\s\up8((, b;\s\up9((, c;\s\up8((} назовем аффинным репером в пространстве. Пусть d;\s\up9(( – произвольный вектор. Отложим все векторы из точки O:
a;\s\up8(( = OA;\s\up10( –( , b;\s\up9(( = OB;\s\up10( –(,
c;\s\up8(( = OC;\s\up10( –(, d;\s\up9(( = OD;\s\up10( –(.
Проведем прямые l1 = OA, l2 = OB, l3 = OC. Построим параллелепипед так, чтобы три его ребра лежали на этих прямых, а точка D была вершиной. Пусть A1, B1, C1 – вершины параллелепипеда, лежащие на прямых l1, l2, l3, а D1 – четвертая вершина основания. Пусть
a1;\s\up8(( = OA1;\s\up10( –(, b1;\s\up9(( = OB1;\s\up10( –(, с1;\s\up8(( = OC1;\s\up10( –(, d1;\s\up9(( = OD1;\s\up10( –(.
Тогда c1;\s\up8(–( = D1D;\s\up10( –(, и по правилу треугольника d;\s\up9(( = d1;\s\up9(( + с1;\s\up8(( . А по правилу параллелограмма с1;\s\up8(( = a1;\s\up8(( + b1;\s\up9(( . Значит, d;\s\up9(( = a1;\s\up8(( + b1;\s\up9(( + с1;\s\up8(( . Но a1;\s\up8(( || a;\s\up8((, b1;\s\up9(( || b;\s\up9((, с1;\s\up8(( || c;\s\up8((, и по признаку коллинеарности векторов существуют такие числа x1, x2, x3, что a1;\s\up8(( = x1a;\s\up8((, b1;\s\up9(( = x2b;\s\up9((, с1;\s\up8(( = x3c;\s\up8((
d;\s\up9(( = x1a;\s\up8(( + x2b;\s\up9(( + x3c;\s\up8(( . (5)
Это выражение называется разложением вектора d;\s\up9(( по базису B . Числа x1, x2, x3 называются координатами вектора d;\s\up9(( в этом базисе. Они же называются координатами точки D относительно репера R . Пишем d;\s\up9(((x1, x2, x3 )B , D(x1, x2, x3 )R . Репером также называют четверку точек {O, A, B, C}.
Вектор d;\s\up9(( называется радиус-вектором точки D в данном репере. Таким образом, по определению координаты точки совпадают с координатами ее радиус-вектора. Точка O называется началом координат, прямые l1, l2, l3, вместе с выбранными на них направленными отрезками OA;\s\up10( –(, OB;\s\up10( –(, OC;\s\up10( –(, называются координатными осями, а совокупность координатных осей и начала называется аффинной системой координат в пространстве. Иногда репером называют четвёрку точек {O, A, B, C}, не лежащих в одной плоскости.
Если мы выберем другое начало координат, то та же самая точка D будет задаваться другим радиус-вектором ее координаты изменятся. Координаты же вектора d;\s\up9(( не зависят от выбора начала координат. Действительно, пусть имеем еще одно разложение
d;\s\up9(( = y1a;\s\up8(( + y2b;\s\up9(( + y3c;\s\up8(–(, (5' )
где, например, y3 ≠ x3 . Вычтем (5' ) из (5):
o;\s\up8(–( = (x1 – y1)a;\s\up8(( + (x2 – y2)b;\s\up9(( + (x3 – y3)c;\s\up8((,
c;\s\up8(–( = a;\s\up8(( + b;\s\up9((.
З начит, вектор c;\s\up8(( лежит в одной плоскости с векторами a;\s\up8(( и b;\s\up9((. А мы с самого начала предполагали, что векторы a;\s\up8((, b;\s\up9((, c;\s\up8(( некомпланарны. Противоречие. Значит, y3 = x3 . Аналогично доказывается, что y2 = x2, y1 = x1.
Так же, как и на плоскости доказывается, что при сложении векторов их координаты складываются, а при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число. А для того, чтобы найти координаты вектора, надо из координат его конца отнять координаты начала.
Е сли векторы a;\s\up8((, b;\s\up9((, c;\s\up8(( единичные и взаимно ортогональные, то базис B и репер R называются ортонормированными. Если, к тому же, векторы a;\s\up8((, b;\s\up9((, c;\s\up8(( образуют правую тройку, то СК называется декартовой. В этом случае приняты обозначения базисных векторов i, j, k ; координат – x, y, z; координатных осей – Ox, Oy, Oz; направленных отрезков на осях – OE1, OE2, OE3.
Векторы i, j, k называются базисными ортами.
Так же, как и на плоскости доказывается, что в декартовой СК координаты вектора совпадают с его скалярными проекциями на координатные оси.
Пусть =( i, d;\s\up9(( ), =( j, d;\s\up9(( ), =( j, d;\s\up9(( ). Тогда величины cos , cos , cos называются направляющими косинусами вектора d;\s\up9((.
Они обладают свойством: cos2 + cos2 + cos2 = 1.
Теорема 1. (второй признак коллинеарности векторов).
Для того, чтобы два ненулевых вектора на плоскости или в пространстве были коллинеарны необходимо и достаточно, чтобы их координаты были пропорциональны ( a;\s\up8(((a1, a2, a3) b;\s\up9(((b1, b2, b3) = = ).
Доказательство. Согласно первому признаку коллинеарности векторов a;\s\up8(( || b;\s\up9(( : a;\s\up8(( = b;\s\up9(( a1= b1, a2 = b2, a3 = b3 = = = .