- •Часть I. Аналитическая геометрия
- •Введение
- •Глава 1. Векторная алгебра. Системы координат. §1. Направленные отрезки. Понятие вектора.
- •§ A 2. Операции над векторами.
- •§3. Угол между векторами. Ориентация пары векторов на плоскости или тройки векторов в пространстве.
- •§4. Проекция вектора на ось.
- •§5. Скалярное произведение векторов.
- •§6. Координаты вектора и точки на прямой.
- •§7. Координаты вектора и точки на плоскости.
- •§8. Координаты вектора и точки в пространстве.
- •§ 9. Деление отрезка в данном отношении.
- •§ 10. Векторное произведение.
- •§11. Формулы для вычисления скалярного и векторного произведений в декартовых координатах.
- •§12. Смешанное произведение векторов.
- •§13. Двойное векторное произведение.
- •§14. Полярная система координат на плоскости.
- •§15. Сферическая и цилиндрическая системы координат в пространстве.
- •§16. Преобразование координат.
- •§17. Общее преобразование координат в пространстве.
- •§18. Примеры решения задач.
- •Глава 2. Прямые и плоскости §1. Уравнение кривой и поверхности.
- •§2. Уравнение прямой на плоскости.
- •§3. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.
- •§4. Уравнение прямой в нормальной форме. Расстояние от точки до прямой.
- •§ 5. Уравнение прямой в полярных координатах.
- •§6. Пучок прямых.
- •§7. Уравнение плоскости в пространстве.
- •§8. Уравнение плоскости в нормальной форме. Расстояние от точки до плоскости.
- •§9. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве.
- •§10. Уравнение прямой в пространстве.
- •§11. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
- •§12. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Расстояние между прямыми.
- •§13. Примеры решения задач.
- •Аналогично m3(–1,–3).
- •Прибавим ко второму уравнению первое, умноженное на 4:
- •Точка d делит отрезок bc пополам. Поэтому
- •Отсюда находим
- •Глава 3. Кривые второго порядка §1. Эллипс.
- •§2. Гипербола.
- •7. Гипербола
- •§3. Конические сечения. Парабола.
- •§1 И в §2, совпадают с фокусами, определенными в этом параграфе. Кроме того, эллипс и гипербола имеют две пары фокус-директриса, и определить фигуру можно с помощью любой из пар.
- •§4. Касательные к коническим сечениям.
- •§5. Диаметры конических сечений.
- •§6. Уравнения конических сечений в полярной системе координат.
- •§7. Общее уравнение кривой второго порядка. Центр кривой.
- •§ 8. Классификация центральных кривых второго порядка (случай 0).
- •§10. Примеры решения задач.
- •Значит, кривая имеет центр. Найдем координаты центра (хo, yo) из системы уравнений (10):
- •Глава 4. Поверхности второго порядка §1. Цилиндрические поверхности.
- •§2. Конические поверхности.
- •§3. Поверхность вращения.
- •§4. Эллипсоид.
- •§5. Однополостной и двуполостной гиперболоиды.
- •§6. Эллиптический и гиперболический параболоиды.
- •§7. Классификация поверхностей второго порядка.
- •§8. Примеры решения задач
- •Приложение §1. Матрицы и определители.
- •§2. Правило Крамера.
- •Используемые сокращения
- •Алфавитный указатель
- •Литература
§ A 2. Операции над векторами.
О
A1
B1
O1
O
B
a;\s\up8((
b;\s\up9((a;\s\up7((
c;\s\up8((a;\s\up7((
a;\s\up8((
b;\s\up9((a;\s\up7((
?a;\s\up7((
Пишем c;\s\up8(( = a;\s\up8(( + b;\s\up9((.
Этот способ построения суммы двух векторов называется правилом треугольника.
Однако, в нашем определении использовалась произвольная точка O. Возникает вопрос: что если мы начнем построение от другой точки O1? Не получится ли другой вектор c1;\s\up8((? Другими словами, требуется еще доказать, что наше определение корректно. Самостоятельно докажите, пользуясь чертежом, что (OA;\s\up10( –(O1A1;\s\up10( –( AB;\s\up10( –(A1B1;\s\up10( –() OB;\s\up10( –(O1B1;\s\up10( –(.
Свойства операции сложения векторов.
a;\s\up8((, b;\s\up9((, c;\s\up8(( выполнено
1. a;\s\up8(( + b;\s\up9(( = b;\s\up9(( + a;\s\up8(( (коммутативность);
2. (a;\s\up8(( + b;\s\up9(( ) + c;\s\up8(( = a;\s\up8(( +( b;\s\up9(( + c;\s\up8(() (ассоциативность);
3. a;\s\up8(( + o;\s\up8(( = a;\s\up8((.
4. x;\s\up8(( такой что a;\s\up8(( + x;\s\up8(( = o;\s\up8((. Этот вектор называется противоположным вектором к a;\s\up8(( и обозначается – a;\s\up8((.
Д оказательство. 1. Отложим a;\s\up8(( и b;\s\up9(( от одной точки O: a;\s\up8((= OA;\s\up10( –(, b;\s\up9(( = OB;\s\up10( –(. Достроим ΔOAB до параллелограмма OACB. Пусть c;\s\up8(–( = OC;\s\up10( –(. Очевидно, что AC;\s\up10( –(OB;\s\up10( –(, т.е. b;\s\up9(( = AC;\s\up10( –(. Тогда по правилу треугольника a;\s\up8(( + b;\s\up9(( = OC;\s\up10( –(. С другой стороны, BC;\s\up10( –(OA;\s\up10( –(, a;\s\up8(( = BC;\s\up10( –( и по правилу треугольника b;\s\up9(( + a;\s\up8(( = c;\s\up8((.
Данный способ построения суммы векторов называется правилом параллелограмма.
2
C
Это свойство позволяет использовать обозначение a;\s\up8(( + b;\s\up9(( + c;\s\up8(( без расстановки скобок.
3. Пусть a;\s\up8((= OA;\s\up10( –(, а o;\s\up8(( можем задать с помощью направленного отрезка AA;\s\up10( –(. Тогда по правилу треугольника a;\s\up8(( + o;\s\up8(( = OA;\s\up10( –( . Значит, a;\s\up8(( + o;\s\up8(( = a;\s\up8(( .
4. Пусть a;\s\up8(( = OA;\s\up10( –( . Зададим x;\s\up8(( = AO;\s\up10( –( . Тогда по правилу треугольника a;\s\up8(( + x;\s\up8(( = OO;\s\up10( –( . Значит, a;\s\up8(( + x;\s\up8(( = o;\s\up8(( . Тем самым мы доказали существование противоположного вектора. Докажем единственность.
Предположим, что существует еще один вектор x1;\s\up8(( такой что a;\s\up8(( + x1;\s\up8(( = o;\s\up8((. Прибавим к последнему равенству справа и слева вектор x;\s\up8((:
(a;\s\up8(( + x1;\s\up8(() + x;\s\up8(( = o;\s\up8(( + x;\s\up8((.
Используя свойства 1 и 2 получаем
( a;\s\up8(( + x;\s\up8(( ) + x1;\s\up8(( = o;\s\up8(( + x;\s\up8(( o;\s\up8(( + x1;\s\up8(( = o;\s\up8(( + x;\s\up8(( x1;\s\up8(( = x;\s\up8((.
О пределение. Разностью двух векторов a;\s\up8(( и b;\s\up9(( называется такой вектор d;\s\up9((, что b;\s\up9(( + d;\s\up9(( = a;\s\up8((. Пишем d;\s\up9(( = a;\s\up8(( – b;\s\up9((.
Докажем, что разность векторов существует и определяется однозначно.
Отложим a;\s\up8(( и b;\s\up9(( от одной точки O: a;\s\up8(( = OA;\s\up10( –(, b;\s\up9(( = OB;\s\up10( –(, и пусть d;\s\up9(( = BA;\s\up10( –(. Тогда по правилу треугольника b;\s\up9(( + c;\s\up8(( = a;\s\up8(( (*). Значит, разность двух векторов существует.
Докажем единственность. Прибавим справа и слева к к равенству (*) вектор – b;\s\up9((:
(b;\s\up9(( + d;\s\up9(( ) + (– b;\s\up9(( ) = a;\s\up8(( + (– b;\s\up9(( ).
Используя свойства 1 и 2 получаем
d;\s\up9(( + o;\s\up8(–( = a;\s\up8(( + (– b;\s\up9(( ) d;\s\up9(( = a;\s\up8(( + (– b;\s\up9(( ).
Тем самым мы доказали, что a;\s\up8(( – b;\s\up9(( = a;\s\up8(( + (– b;\s\up9(( ). А поскольку единственность противоположного вектора мы уже доказали, то и разность определяется однозначно. Кроме того, мы увидели, как построить разность на чертеже.
Определение. Произведением вектора a;\s\up8(( на число называется такой вектор b;\s\up9((, что
1. a;\s\up8(( b;\s\up9((, если > 0, и a;\s\up8(( b;\s\up9((, если < 0 ;
2. |b;\s\up9(( | = ||·|a;\s\up8(( |.
Пишем b;\s\up9(( = a;\s\up8((. (Часто еще добавляют 3. если = 0, то b;\s\up9(( = o;\s\up8(–(. Но это следует из 2.)
Свойства операции умножения вектора на число.
1. ( a;\s\up8(( + b;\s\up9(( ) = a;\s\up8(( + b;\s\up9((; 3. ( + )a;\s\up8(( = a;\s\up8(( + a;\s\up8((;
2. (a;\s\up8(( ) = ()a;\s\up8((; 4. 1·a;\s\up8(( = a;\s\up8((.
Д оказательство. 1. Пусть
(**)
a;\s\up8((= OA1;\s\up10( –(, b;\s\up9(( = A1B1;\s\up10( –(.
Тогда по правилу треугольника
a;\s\up8(( + b;\s\up9(( = OB;\s\up10( –( , a;\s\up8(( + b;\s\up9(( = OB1;\s\up10( –(.
Нам требуется доказать, что (a;\s\up8(( + b;\s\up9(( ) = OB1;\s\up10( –(.
Из (**) вытекает по-добие треугольников ΔOAB ΔOA1B1 по двум сторонам и углу между ними. Поэтому OB;\s\up10( –( | | OB1;\s\up10( –( и OB1;\s\up10( –( = OB;\s\up10( –(.
О тсюда, с учетом a;\s\up8(( + b;\s\up9(( = OB;\s\up10( –(, вытекает (a;\s\up8(( + b;\s\up9(( ) = OB1;\s\up10( –(. На первом рисунке изображен случай > 0, а на втором – < 0. В случае же = 0, обе части равенства дают o;\s\up8(–(.
Упражнение. Остальные свойства докажите самостоятельно.
Теорема 1 (первый признак коллинеарности векторов). Для того, чтобы ненулевые векторы a;\s\up8(( и b;\s\up9(( были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы существовало такое число , что b;\s\up9(( = a;\s\up8((.
Доказательство. Достаточность вытекает непосредственно из определения произведения вектора на число. Если a;\s\up8(( = b;\s\up9((, то по определению a;\s\up8(( || b;\s\up9((.
Необходимость. Пусть a;\s\up8(( || b;\s\up9((.
1 случай: a;\s\up8(( b;\s\up9((. Положим =b;\s\up9(( /a;\s\up8(( > 0. Тогда
a;\s\up8(( a;\s\up8(( a;\s\up8(( b;\s\up9((,
a;\s\up8(( =a;\s\up8(( = |a;\s\up8(( | = |a;\s\up8(( | =b;\s\up9((.
2 случай: a;\s\up8(( b;\s\up9((. Положим = –b;\s\up9(( /a;\s\up8(( < 0. Тогда
a;\s\up8(( a;\s\up8(( a;\s\up8(( b;\s\up9((,
a;\s\up8(( =a;\s\up8((= –|a;\s\up8(( | = |a;\s\up8(( | =b;\s\up9((.
Ч то и требовалось доказать.
В процессе доказательства мы показали, как решить следующую задачу: найти вектор b;\s\up9(( сонаправленный с данным вектором a;\s\up8(( и имеющий заданную длину b;\s\up9((= . Это будет вектор b;\s\up9(( = b;\s\up9((. В частности, единичный вектор e;\s\up8(( a;\s\up8(( находится так: e;\s\up8(( = a;\s\up8(( . Такой вектор называется ортом вектора a;\s\up8((.