- •Часть I. Аналитическая геометрия
- •Введение
- •Глава 1. Векторная алгебра. Системы координат. §1. Направленные отрезки. Понятие вектора.
- •§ A 2. Операции над векторами.
- •§3. Угол между векторами. Ориентация пары векторов на плоскости или тройки векторов в пространстве.
- •§4. Проекция вектора на ось.
- •§5. Скалярное произведение векторов.
- •§6. Координаты вектора и точки на прямой.
- •§7. Координаты вектора и точки на плоскости.
- •§8. Координаты вектора и точки в пространстве.
- •§ 9. Деление отрезка в данном отношении.
- •§ 10. Векторное произведение.
- •§11. Формулы для вычисления скалярного и векторного произведений в декартовых координатах.
- •§12. Смешанное произведение векторов.
- •§13. Двойное векторное произведение.
- •§14. Полярная система координат на плоскости.
- •§15. Сферическая и цилиндрическая системы координат в пространстве.
- •§16. Преобразование координат.
- •§17. Общее преобразование координат в пространстве.
- •§18. Примеры решения задач.
- •Глава 2. Прямые и плоскости §1. Уравнение кривой и поверхности.
- •§2. Уравнение прямой на плоскости.
- •§3. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.
- •§4. Уравнение прямой в нормальной форме. Расстояние от точки до прямой.
- •§ 5. Уравнение прямой в полярных координатах.
- •§6. Пучок прямых.
- •§7. Уравнение плоскости в пространстве.
- •§8. Уравнение плоскости в нормальной форме. Расстояние от точки до плоскости.
- •§9. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве.
- •§10. Уравнение прямой в пространстве.
- •§11. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
- •§12. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Расстояние между прямыми.
- •§13. Примеры решения задач.
- •Аналогично m3(–1,–3).
- •Прибавим ко второму уравнению первое, умноженное на 4:
- •Точка d делит отрезок bc пополам. Поэтому
- •Отсюда находим
- •Глава 3. Кривые второго порядка §1. Эллипс.
- •§2. Гипербола.
- •7. Гипербола
- •§3. Конические сечения. Парабола.
- •§1 И в §2, совпадают с фокусами, определенными в этом параграфе. Кроме того, эллипс и гипербола имеют две пары фокус-директриса, и определить фигуру можно с помощью любой из пар.
- •§4. Касательные к коническим сечениям.
- •§5. Диаметры конических сечений.
- •§6. Уравнения конических сечений в полярной системе координат.
- •§7. Общее уравнение кривой второго порядка. Центр кривой.
- •§ 8. Классификация центральных кривых второго порядка (случай 0).
- •§10. Примеры решения задач.
- •Значит, кривая имеет центр. Найдем координаты центра (хo, yo) из системы уравнений (10):
- •Глава 4. Поверхности второго порядка §1. Цилиндрические поверхности.
- •§2. Конические поверхности.
- •§3. Поверхность вращения.
- •§4. Эллипсоид.
- •§5. Однополостной и двуполостной гиперболоиды.
- •§6. Эллиптический и гиперболический параболоиды.
- •§7. Классификация поверхностей второго порядка.
- •§8. Примеры решения задач
- •Приложение §1. Матрицы и определители.
- •§2. Правило Крамера.
- •Используемые сокращения
- •Алфавитный указатель
- •Литература
§ 9. Деление отрезка в данном отношении.
Определение. Пусть точка C лежит на отрезке AB. Говорим, что C делит отрезок AB в отношении 1:2 , если
= 2AC= 1CB.
Учитывая, что AC;\s\up10( –(CB;\s\up10( –( , последнее равенство можно переписать так:
2AC;\s\up10( –( = 1CB;\s\up10( –(. (6)
Теперь мы введем обобщение нашего определения, и будем говорить, что точка C делит отрезок AB в отношении 1:2 , если выполнено (6). Такое определение означает, что C может лежать на прямой AB за пределами отрезка AB, если 1:2 отрицательно. Число = 1/2 (AC;\s\up10( –( = CB;\s\up10( –() называется простым отношением точек A, B, C и обозначается (AB, C) или (ABC).
Пусть нам известны координаты концов отрезка: A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2). Требуется найти координаты точки C(x, y, z), которая делит этот отрезок в отношении 1:2. Самостоятельно выведите из равенства (6), что
x = , y = , z = .
Эти формулы также будут доказаны на практических занятиях. В частности, если C делит отрезок AB пополам, то
x = , y = , z = .
§ 10. Векторное произведение.
Определение. Векторным произведением двух векторов a;\s\up8(( и b;\s\up9(( называется такой вектор c;\s\up8((, что
1. c;\s\up8(( a;\s\up8((, c;\s\up8(( b;\s\up9((;
2. тройка (a;\s\up8((, b;\s\up9((, c;\s\up8(( ) – правая;
3. c;\s\up8((= a;\s\up8(( b;\s\up9((sin( a;\s\up8((, b;\s\up9(( ).
Пишем c;\s\up8(( = a;\s\up8(( b;\s\up9(( (используется также обозначение c;\s\up8(( = [a;\s\up8((,b;\s\up9(( ] ).
Ч резвычайно распространена на экзамене следующая ошибка. В ответ на вопрос: «Дайте определение векторного произведения» студенты пишут только по3 определения, к тому же, зачастую, опуская модуль у c;\s\up8(–(. Такой ответ классифицируется как полное отсутствие ответа. Невозможно определить вектор, задав только его длину. Необходимо задать еще его направление. По1 указывает, что вектор a;\s\up8(( b;\s\up9(( направлен по общему перпендикуляру к a;\s\up8(( и b;\s\up9((. Но таких векторов заданной длины можно найти два. Поэтому необходим еще и по2.
Теорема 4. Модуль векторного произведения двух векторов a;\s\up8(( и a;\s\up8(( численно равен площади параллелограмма, построенного на направленных отрезках OA;\s\up10( –( и OB;\s\up10( –(, представляющих
э ти векторы, отложенные из одной точки.
Доказательство. S =OA;\s\up10( –(OB;\s\up10( –( sinAOB =
= a;\s\up8((b;\s\up9((sin(a;\s\up8((, b;\s\up9(( ) = a;\s\up8(( b;\s\up9((.
Следствие. a;\s\up8(( b;\s\up9(( = o;\s\up8(( a;\s\up8(( b;\s\up9(( .
В частности, для любого вектора a;\s\up8(–( выполнено a;\s\up8((a;\s\up8(( = o;\s\up8((.
Действительно, a;\s\up8(( b;\s\up9(( = o;\s\up8(( S = 0 стороны параллелограмма параллельны, либо длина одной из них равна нулю. Поскольку нулевой вектор считается коллинеарным любому, то это равносильно a;\s\up8(( b;\s\up9((.
Свойства векторного произведения.
1. a;\s\up8(–( b;\s\up9(( = – b;\s\up9(( a;\s\up8(( ,
2. (a;\s\up8(( ) b;\s\up9(( = ( a;\s\up8(( b;\s\up9((),
3. a;\s\up8(( ( b;\s\up9((+c;\s\up8(–( ) = a;\s\up8(( b;\s\up9(( + a;\s\up8(( c;\s\up8(–(.
Геометрическое доказательство этих свойств можно найти в учебнике. Мы же докажем их после того, как получим формулу для вычисления векторного произведения в декартовых координатах.