Задача 1

Характеристика направленности антенны в виде отрезка прямой описывается выражением R() = , где , k – волновое число; d – размер антенны. Исследовать данную функцию.

Определить

• ширину характеристики направленности на уровне 0,707;

• направление и величину боковых лепестков;

• направление нулей ХН.

Решение.

1. Для определения ширины характеристики направленности на уровне 0,707 необходимо определить значение аргумента  функции , т.е. решить уравнение вида

.

Данное уравнение является нелинейным. Его можно решить графическим или любым из итерационных методов.

Рис. 2

В результате решения получаем или .

Отсюда

.

При малых углах можно принять , .

2. Для определения направления боковых лепестков исследуют функцию на наличие экстремумов. Для этого необходимо взять производную от функции и приравнять ее к нулю.

,

.

Поскольку делить на ноль нельзя, то .

Решим уравнение вида

.

После преобразований получим:

.

Отсюда:

1) при .

2) . Решением этого уравнения является , а так как он обращает знаменатель в ноль, то ответом на поставленный в задаче вопрос будет следующее выражение

.

Для вычисления амплитуд дополнительных максимумов необходимо полученное выражение подставить в выражение для

.

Численные значения амплитуд дополнительных максимумов будут следующие:

Амплитуда первого дополнительного максимума равна – 0,228; второго 0,13; третьего – - 0,09; четвертого 0,07; пятого – 0,06; шестого 0,05.

Рис. 3

3. Для определения нулей функции необходимо функцию приравнять к нуля. Функция R() равна нулю, когда числитель ее равен нулю, т.е. , а знаменатель функции R() не равен нулю . Функция равна нулю, если ее аргумент равен нулю . Учитывая, что функция периодическая (и ), она будет принимать значения равные нулю при , где

Учитывая ОДЗ и то, что , получим .

На рис.3 показана функция, полученная в результате проведенных исследований.

1.2. Элементы теории излучения

1.2.1. Условия излучения упругих волн.

Рассмотрим закономерности излучения упругих волн, возникающих в результате периодического изменения объема однородного тела в жидкости.

Пусть скорость смещения всех участков поверхности тела направлена по нормали к поверхности и определяется периодической функцией V(t). Под действием движения поверхности в жидкости возникнут периодические сжатия и разряжения, которые будут распространяться в виде упругих волн. Будем считать, что поверхность совершает малые колебания. В этом случае задача об излучении упругих волн сводится к решению волнового уравнения относительно потенциала скорости:

.

(1.1)

Необходимо найти решения волнового уравнения, которые удовлетворяют граничному условию на поверхности колеблющегося тела.

Граничные условия:

1) изменение потенциала по нормали к поверхности излучателя должно равняться величине колебательной скорости (с обратным знаком) как функции времени

.

(1.2)

2) условие излучения Зоммерфельда:

потенциал на бесконечности должен обращаться в нуль:

(1.3)

Найдем полную мощность упругих волн в двух крайних случаях:

1 - при низких частотах, когда волновые размеры колеблющегося тела значительно меньше единицы

;

(1.4)

2 - в случае высоких частот, когда

(1.5)