17.Властивості Функції корисності

Нехай х=(х₁,…,х_n) – вектор споживчих товарів, що їх придбав споживач за певний термін. Простір товарів – це множина різноманітних наборів товарів х з невід’ємними координатами. Припускається гіпотеза, що споживач має пріоритети на певній підмножині простору товарів: Х с {х: х≥0}. Це означає, що для кожної пари х є Х, у є У має місце одне з відношень: - набір х привабливіший за у, – набір у привабливіший за набір х, – обидва набори еквівалентні. Теорема Дебре: Якщо множина Х зв’язана без дір , а відношення переваг неперервні, то функція корисності існує. Переваги споживача можна подати у формі індикатора переваг, тобто такої функції корисності u(x), що з випливає u(x)>u(y), a з випливає u(x)=u(y). Властивості функції корисності: 1) – зі зростанням споживчих благ корисність зростає, 2) невеликий приріст блага за його початкової відсутності різко збільшує корисність; 3) – зі зростанням споживання блага швидкість зростання корисності зменшується, ця умова зазвичай використовується у більш широкому трактуванні як матриця Гессе; 4) – коли дуже великий обсяг блага, його подальше зростання не призводить до зростання корисності.

18. Рівняння Слуцького

Задача споживача полягає у виборі наборів товарів та послуг при заданому відношенні переваги(функції корисності) і бюджетному обмеженні, яке відносить споживача до деякої підмножини простору товарів.

- ціна і-го товару, і=1,n

І – дохід споживача

х – вектор товарів з простору С

U(x) max (1)

Запишемо функцію Лагранжа:

L=U( (2)

(3)

Розв’язавши систему (3) отримуємо ( при чому , але якщо строго менше, то =0;

, якщо строго більше, то .

, якщо , тобто відношення граничної корисності до ціни має бути однаковим для всіх закуплених товарів.

(4)

Умови другого порядку для задачі (1) буде обернена матриця Гессе:

Умови полягають у тому, що останні n-1 головних мінорів повинен змінити знак. Ці умови виконуються, оскільки матриця є від’ємновизначеною.

Отже, розв’язком задачі (1) буде функція:

функція від ціни і від доходу.

Запишемо умови першого порядку для оптимального розв’язку і отримуємо:

(5)

Показники можна отримати якщо продиференціювати цю n+1тотожність за параметрами

1). Дослідимо вплив зміни доходу, диференціюємо систему (5) по І:

=0

Запишемо у векторно-матричній формі:

2). Розглянемо вплив зміни ціни на один товар, диференціюємо по р:

,

де – символ Кронекера, який дорівнює 1, якщо j=l і дорівнює 0, якщо j≠l

E- одинична матриця.

3). Розглянемо вплив компенсованої зміни ціни при якій дохід компенсується таким чином, що корисність залишається незмінною.

- зміна ціни, коли дохід був компенсований до поки не змінилася ціна.

Матрична форма:

(6)

(6)- це основне матричне рівняння теорії споживання.

Розв’язуємо рівняння (6):

Де

- коефіцієнт спадання граничної корисності грошей.

(7)

(8)

(9)

(10)

(10)- це рівняння Слуцького.

- загальний ефект від впливу ціни на попит

- плив заміни, тобто компенсованої зміни ціни на попит

- вплив зміни доходу на попит.