16. Економічна інтерпретація двоїстих оцінок

Розглянемо деяке підприємство, яке виробляє n, використовуючи для цього для m видів ресурсів. Відома кількість одиниць кожного виду ресурсу, які використовують для виготовлення одиниці продукції кожного виду, запас кожного ресурсу і прибуток від реалізації одиниці продукції кожного виду.

Потрібно так спланувати виробництво продукції, щоб у випадку використання наявних ресурсів загальний прибуток був би максимальним.

Побудуємо економіко-математичну модель задачі, введемо такі позначення:

і - індекс виду ресурсу i=1,m

j- індекс виду продукції j=1,n

a - коефіцієнт затрат ресурсів і-го виду, які використовують для виготовлення одиниці продукції j-го виду

b - запас ресурсу і-го виду

C - прибуток від реалізації одиниці продукції j-го виду

x - кількість продукції j-го виду, яку планують виготовити (шукані величини).

Економіко-математичну модель задачі:

Max

(1)

Позначимо через y ціну одиниці ресурсу і-го виду. Якщо підприємство продасть ресурси, затрачені на виробництво одиниці продукції j-го виду, то виручка становитиме

Продаж підприємству буде вигідно здійснювати, коли кошти виручені від продажу ресурсів, що затрачають на виробництво продукції j-го виду, будуть не менші, ніж прибуток, одержаний від реалізації одиниці продукції j-го виду.

Оскільки запаси ресурсів кожного виду, то виручка від реалізації всіх наявних ресурсів. Кожен покупець намагається купити якомога дешевше.

min

(2)

Задачу (2) наз. двоюстою до задачі (1)

Основні теореми двоїстості:

Теорема 1. Для довільних допустимих планів i пари двоїстих задач правдиво: тобто значення цільової функції прямої задачі ніколи не перевищують значення цільової функції двоїстої задачі.

Теорема 2. Якщо для допустимих планів i пари двоїстих задач виконується умова: , то ці плани є оптимальними планами пари двоїстих задач.

Теорема 3. Якщо одна з пари двоїстих задач має розв’язок, то і інша має розвязок. (значення цільових функцій пари двоїстих задач у випадку оптимальних планів збігається). Якщо одна з пари двоїстих задач є нерозв’язаною через необмеженість лінійної форми, то інша нерозв’язана через несумісність умов.

Теорема 4.Для того, щоб плани i були оптимальними, необхідно і достатньо:

Виходячи з другої теореми , зробимо висновки:

1. Якщо деякий ресурс у випадку оптимального режиму виробництва використаний не повністю ( то відповідна змінна двоїстої задачі в оптимальному плані дорівнює нулю. Якщо деякий ресурс у випадку оптимального режиму виробництва використаний повністю то відповідна змінна двоїстої задачі в оптимальному плані більша нуля.

2. Якщо затрати ресурсів у випадку оптимального виробництва не перевищують ціни одиниці продукції

, то цю продукцію треба виготовляти. Якщо ці затрати більші, ніж ціна одиниці продукції , то таку продукцію виготовляти не варто.

3. Двоїсті оцінки свідчать про вплив зміни запасів кожного виду ресурсів на цільову функцію. Їх можна використати для визначення величини приросту значення цільової функції у випадку збільшення запасу ресурсу кожного виду на одиницю продукції.